'1t 1^9 - JScholarship

Die Berechnung von Anzahlen durch Ausartungen. 91
Bedingungen ausdrücken, Avie im VI. Abschnitt gezeigt werden soll (cf.
jedoch Lit. 51). Es handelt sich also hauptsächlich darum, diejenigen
Zahlen zu bestimmen, welche angeben, unevid Kegelschnitte alle denkbaren
aus g, V, Q zusammengesetzten 8-fachen Bedingungen erfüllen. Die Berechnung
dieser Anzahlen gelingt nach der von Chasles begründeten,
von Zeuthen (Alm. Egensk. v. Syst. af pl. Kurver, Vidensk. Selsk.
[5], IV, p. 287 bis 393) ausgebildeten Methode (cf des Verfassers
Abh. in den Math. Ann. Bd. XIII § 31) dadurch, dass man erstens
diese Anzahlen auf diejenigen zurückführt, welche angeben, wieviel
Kegelschnitte alle denkbaren, aus g, v, q zusammengesetzten 7-fachen
Bedingimgen und ausserdem die eine oder die andere von gewissen
zwei invarianten (§ 2) Bedingungen erfüllen, und dass man
zweitens die letztgenannten Anzahlen direet durch die axiomatischen
Anzahlen ausdrücken kann. Um die Natur dieser invarianten Bedingungen
deutlich zu erkennen, bilden wir den allgemeinen Kegelschnitt
in folgender Weise homographisch ab (cf § 16, pag. 68).
[Lit. 24.]
Wir nehmen in fester Ebene einen Punkt S als Oentrum und
eine Gerade r als Axe der Homographie an und bestimmen das
Bild J.' jeden Punktes A der Ebene, indem wir den Strahl SA
ziehen, auf SA den Schnittpunkt Ea mit r aufsuchen und dann auf
dem Strahle SAEa den vierten Punkt A! so bestimmen, dass das
Doppelverhältniss
SA _ SA' Q
±ia.ci. Jtta.a,
wird. Oonstmirt man in dieser Weise die Bilder der sämmtlichen
Punkte eines in der festen Ebene liegenden, aber nicht durch S
gehenden Kegelschnitts K, so erhält man alle Punkte der Axe r,
und jeden zwdmal gerechnet. Jeder Tangente von K entspricht als
Bild im allgemeinen einzig und allein die Gerade r; nur zu jeder
der beiden Tangenten, welche von S aus an K gehen, erhält man
unendlich viele Bilder, nämlich alle Strahlen des Strahlbüschels,
dessen Scheitel der Schnittpunkt der Tangente mit r ist. Das so
gewonnene Büd des Kegelschnitts K ist also ein Kegelschnitt mit
folgender Definition:
„Sdne Punkte bilden zwd in einen Strahl zusammenfallende Gerade
und sdne Tangenten zwei im allgemeinen getrennt liegende Strahlbüsehel,
deren Scheitel auf jener die Punkte enthaltenden Geraden liegen."
Durch diese Definition ist der allgemeinen Kegelschnittdefinition
eine Beschränkung hinzugefügt, welche als einfache, dem