'1t 1^9 - JScholarship

Die Berechnung von Anzahlen durch Ausartungen. 145
schnitt. Die Kegelschnitttangente in b ist die eine, die Ordnungsgerade
die andere Doppelpunktstangente. Die drei Wendetangenten
fallen sämmtlich üi die Kegelschnitttangente, welche in e berührt,
so dass die drei Wendepunkte in e coincidiren.
2. Die auch schon von Maillard und Zeuthen erkannte Ausartung
y hat als Ordnungscurve eine Curve k dritter Ordnung dritten
Banges. Ihre Tangenten sind die Tangenten dieser Curve und die
Strahlen des Strahlbüschels, welcher seinen Scheitel in der Spitze c
der Curve hat. Der Doppelpunkt von y fällt mit c und die beiden
Doppelpunktstangenten mit der Rückkehrtangente q von k zusammen.
Von den drei Wendetangenten fällt die eine mit der Wendetangente
i-v von k und die beiden andern fallen mit q zusammen,
so dass ein Wendepunkt in den Wendepunkt v von k fällt, zwei
Wendepunkte mit c zusammenfallen und der Wendepunktsstrahl s
zu der Verbindungsgeraden z von c und v wird. Von den drei
Punkten u fällt der eine in c und die beiden andern fallen in den
Schnittpunkt y von w und q. Man beachte, dass für das Theilgebilde
k von y die Bezeichnungen des § 23 beibehalten sind.
3. Die Ausartung x besteht aus drei Ordnungsgeraden a,^ welche
sieh iu einem vierfachen Rangpunkte e schneiden. Die drei Wendetangenten
f, die beiden Doppelpunktstangenten p und der Wendepunktsstrahl
s sind sechs durch e gehende, untereinander und von
den Ordnungsgeräden verschiedene Strahlen, so dass der Doppelpunkt
b, die drei Wendepunkte v und die drei Punkte u in. e coincidiren.
Die ganze Ausartung ist endlichdeutig bestimmt, sobald fünf
von den neun Strahlen durch e gegeben sind. Bezeichnet man mit
«2 resp. «3 die Bedingungen, dass von den Ordnungsgeraden zwei
resp. drei verschiedene, zwei resp. drei gegebene Gerade schneiden,
und bezeichnet man femer mit f^ resp. f^ die analogen Bedingungen
für die drei Wendetangenten, so kann man die Stammzahlen iu
folgender Weise angeben:
xg^e^aj^ = 9, xg^e^a^f^ = 9,
xg^ea^fg =27, xge^a^f^ =54.
4. Die Ausartung * hat folgende Definition. * besteht aus einer
einfachen Ordnungsgeraden a und einer zweifachen Ordnungsgeraden
g, weiche sich in einem dreifachen Rangpunkte e schneiden. Auf
g liegt ein einfacher Rangpunkt d. Die drei Wendetangenten f
die beiden Doppelpunktstangenten p und die Wendepunktsgerade s
sind sechs Strahlen durch e, welche unter einander und von a und
g verschieden sind, so dass b^ die drei v und die drei m in e coinci-
Sohubert, Kalkül der atzählenden Geometrie. 10