'1t 1^9 - JScholarship

Die Coincidenzformeln. 65
einen Systems jede Gerade des andern Systems schneidet. Fasst
man daher jede Gerade g der einen Schaar mit jeder Geraden h
der andern Schaar als Strahlenpaar zusammen, so erhält man auf
der F^ ein zweistufiges System von Strahlenpaaren, die sämmtlich
die im vorigen Paragraphen mit a bezeichnete Bedingung erfüllen.
Jedes i-stufige System von Flächen zweiten Grades enthält also
ein (-i4" 2)-stufiges System solcher Strahlenpaare. Auf die so erzeug*ten
Systeme wollen wir die Coincidenzformeln 39-—57 des
vorigen Paragraphen anwenden, indem wir die dem Strahlenpaare
auferlegten Bedingungen auf die Fläche selbst übertragen. Dabei
wird gemäss den Betrachtungen des § 3 jede dem Strahlenpaar
zugeschriebene a-fache Bedingung für die Fläche selbst (es—2)-fach.
Wir haben daher zunächst zu erörtern, welche Flächenbedingungen
sich aus den Grundbedingungen des Strahlenpaars ergeben. Vermöge
der Incidenzformeln lassen sich diese Flächenbedingungen
sämmtlich auf die folgenden zehn Bedingungen redudren:
1) fi, dass die F^ durch einen gegebenen Punkt gehe,
2) V, dass die F^ eine gegebene Gerade berühre,
3) Q, dass die -Fj eine gegebene Ebene berühre,
4) f, dass die F^ eine gegebene Gerade in einer gegebenen Tangentialebene
berühre,
5) /, dass die F^ eine gegebene Gerade in einem gegebenen
Punkte berühre,
6) S, dass die i^2 eine in einem gegebenen Strahlbüschel liegende
Gerade enthalte,
7) X, dass die F^ eine gegebene Gerade enthalte,
8) tv, dass die F^ eine gegebene Ebene in- einem gegebenen
Punkte bertihre,
9) y, dass die F^ eine gegebene Gerade enthalte und dabei
eine gegebene durch die Gerade gehende Ebene in einem
gegebenen, auf der Geraden liegenden Punkte berühre,
10) z, dass die F^ zwei gegeben'e sich schneidende Gerade ent­
halte.
Um die erwähnte Reduction zu zeigen, übertragen wir auf die
Fläche zunächst nur die folgenden drei- bis siebenfachen Grund­
bedingungen des Strahlenpaars:
9s, egp, pge, gph, geh, p^, e^, pe;
P9s, ege, 9sh, gphp, geh, gph, pe; p^e;
pG, eG, Gh, gjip, gshe,p^e^;
peG, Ghp, Gh; Gh.
Schubert, Kalkül der abzählenden Geometrie. 5