'1t 1^9 - JScholarship

Die CharEikteristikentheorie. 275
stufigen Systems ein «-stufiges System Z, statt der beiden Bedingungen
fi und V beliebig viele i-i&elie Bedingungen. Dann gelangen
wir dazu, uns hinsichtlich des Gebildes F folgende Frage vorzulegen:
Ist es für dn Gebilde F möglich, jede beliebige i-fache Bedingung
durch irgend welche i-fache Bedingungen auszudrücken, so dass die entstehende
Gldchung für jedes i-stufige System richtig ist?
Wir nehmen an, es wäre gelungen, für T gewisse m «-fache Bedingungen
ausfindig zu machen, durch welche jede andere t'-fache Bedingung
ausgedrückt werden kann. Diese m Bedingungen mögen
\, \, l>3T--^m heissen. Dann lässt sich zimächst einsehen, dass
auch durch irgend welche m beliebig ausgewählte «-fache Bedingungen,
etwa c,, C2,...Cm, jede andere «-fache Bedingung ausdrückbar
ist; denn man kann, der Voraussetzung gemäss, jede der m
Bedingnngen
Clj ^2; ^B, • • • ^m.
durch b„ 62, b„...bm ausdrücken und erhält dadurch m Gleichungen
von der Form:
C = ßj^ . &j + «2 . 62 + ß^3 • ^3 + • • • «m • ^m •
Aus diesen m Gleichungen aber ergiebt sich jede der m Bedingimgen
b als lineare Function der m Bed.ingungen c. Hat man
also irgend welche Bedingung z durch die m Bedingungen b ausgedrückt,
so braucht man für die letzteren nur die eben erwähnten
linearen Functionen zu substituiren, um z als Function der m beliebig
gewählten Bedingungen c zu erhalten. Man kann dieses Resultat
auch so aussprechen:
Gelingt es, bei einem Gebilde F eine i-fache Bedingung z durch
m andere i-fache Bedingungen vermittelst einer Formel darzustellen,
welche für alle i-stufigen Systeme richtig ist, so bestehen immer zwischen
Irgend welchen beliebig gewählten k + m i-fachen Bedingungen k von
einander unabhängige Gldchungen.
Beispielsweise nehmen vrir beim Kegelschnitt die einfache Bedingung
z, dass derselbe eine in seiner Ebene gegebene Plancurve
dritter Ordnung vierten Ranges berühre. Diese Bedingung ist nach
§ 14, pag. 51 von g und v durch folgende Gleichung abhängig:
Z = 4.g + 5 .V.
Hieraus können wir dann leicht die eine Gleichung ableiten,
welche zwischen z und etwa den beiden in § 20 besprochenen einfachen
Ausartungsbedingungen d und a besteht, wo d bedeutet,
dass der Kegelschnitt in zwei Gerade zerfallen soll, e bedeutet,
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