'1t 1^9 - JScholarship

Die Coincidenzformeln. 47
„Zwei Flächen, schneiden sich in dner Curve, deren Grad gleich
dem Produkte der GradzaMen der Flächen ist."
Analog erhält man aus Formel 15 oder 14 den Satz:
„Eine Fläche m'"" Grades schneidet dn,e Eaumcurve n"-'"- Grades
in m . n Punkten."
Aus beiden Sätzen folgt drittens:
„Drd Flächen m'"', n'^", l/"" Grades schndden sich in m.n.l
Punkten."
Hier ist also die geometrische Form des Bezout'schen Fimdamentalsatzes,
dass die Zahl der gemeinsamen Wurzelgruppen von.
r Gleichungen mit r Unbekannten gleich dem Produkte der r Gradzalilen
dieser Gleichungen ist, aus der wichtigen Coincidenzformel
e=P+q-9
durch blosse symbolische Multiplication, also durch Spedalidrung
hervorgegangen. In der That sind in den letzten Jahren häufig
Beweise der geometrischen Form des Bezout'schen Satzes geliefert,
in welchen nur das Correspondenzprineip angewandt ist (Lit. 17).
Die obige, durch unsem Kalkül von allem unnöthigen Ballast befreite
Ableitung dürfte den Zusammenhang beider Sätze ins hellste
Licht stellen. Da die angewandte Coincidenzformel erster Dimension
aus dem Chasles'schen Correspondenzprineip folgt, dieses aber
nur eine für die Geometrie zurechtgelegte Form des Gauss'schen
Fundamentalsatzes der Algebra ist, so erscheint es möglich, der
Geometrie eine algebraische Herleitung des Bezout'schen Satzes aus
dem Gauss'schen Satze abzugewinnen. Dieses gelang Herrn Fouret
im Bull, de la Soc. math. de France, Bd. 2 pag. 127, wo auch
versucht ist, die Reduction anzugeben, welche das Produkt der
Gradzahlen erleidet, wenn man nur nach der Zahl der gemeinsamen
endlichen Wurzeln fragt.
Die oben entwickelten Punktepaarformeln ermöglichen es, die
in der analytischen Geometrie üblichen Bestimmungen von Singularitätenzahlen
viel kürzer und naturgemässer zu leisten, als es
die herkömmlichen, mehr algebraischen Mittel leisten können. Dies
kommt daher, weil wir in unserm Kalkül nicht mit Gleichungen,
sondern nur mit den für die Anzahlbestimmung allein wesentlichen,
auf die Gldchungen bezüglichen Gradzahlen rechnen. In der Tha,t
hat der Verfasser nach seiner Methode nicht blos viele auf Flächen,
Congruenzen und Complexe bezügliche, bekannte Anzahlen auf
viel kürzere Weise bestimmt, als dies die Algebra thun konnte.