'1t 1^9 - JScholarship

58 Dritter Abschnitt.
§ lo.
Das Strahlenpaar und seine Coincidenzbedingungen.
Das Strahlenpaar bestehe aus den beiden in allgemeiner Lage
befindlichen Strahlen g und /*. Wir bezeichnen femer mit ß die
einfache Bedingung, dass eine der oo^ ^ und h zugleich schneidenden
Geraden einem gegebenen Strahlbüsehel angehöre, mit b die
einfache Coincidenzbedingung, dass g und h uneiidlich nahe liegen,
ohne sich zu schndden, endlich mit ß die (unfache Bedingung, dass
g und h sich schneiden, ohne unendlich nahe zu liegen, und zwar
heisse dann der Schnittpunkt p und die Schnittebene e. Hiemach
ist natürlich zunächst:
1) Eh = eg
und
2) 0ß = (}p-\-6e.
Zwischen den drei räumlichen Bedingungen g, h, ß und den
beiden invarianten Bedingimgen 6 und £ bestehen zwei Gleichungen,
welche man leicht aus dem Chasles'schen Correspondenzprineip oder
den Pimktepaarformeln des vorigen Paragraphen erhält. Fasst man
nämlich bei einem einstufigen Systeme von Strahlenpaaren je zwei
auf zusammengehörigen Strahlen liegende Punkte als Punktepaar
zusammen und wendet auf das entstandene dreistufige System von
Punktepaaren die Formeln 3 und 4 des § 13 au, so hat man
jr' und ef' gleich null, für g^ das Symbol ß imd für pge + igs
g-\-h einzusetzen. Ferner wird das Symbol egp des § 13 erstens
einmal durch jede Coineidenz und zweitens einmal durch jedes
Strahlenpaar erfüllt, dessen Strahlen sich schneiden. Das Symbol
Ege des vorigen Paragraphen wird dagegen nur von jeder Coineidenz
einmal erfüllt. Man gewinnt also die Gleichungen:
3) 6 + £ = ^,
4) ,^g + l,-ß^
woraus noch folgen:
5) G-l-2.E^g + h,
6) (T = 2./3-(/-/(.
Durch symbolische Multiplication dieser Formeln mit ö, f, (/,
h, ß ergeben sich nicht sämmtliclw Gleichungen, wtdehe zAvischen
den zweifachen Bedingungen bestehen, sondern es muss mindestens
dne Gleichung zweiter Dinu^nsiou direet durch das Princip von der
Erhaltung der Anzahl al)g(4(Htet werden. Ehe wir dies thun definiren
wir noch die zweifache Bedingung B, welche aussprechen