'1t 1^9 - JScholarship

164 Vierter Abschnitt.
9. P', dass sie eine gegebene Ebene osculire, d. h. sie zur
Schmiegungsebene habe,
10. T, dass sie eine gegebene Gerade berühre.
Wir streben nun nach der numerischen Bestimmung aller zwölffachen
Bedingungssymbole, welche keine anderen Bedingungen zu
Faktoren haben, als
V, 9, v', p', P, P', T
Wir setzen daher für die folgenden Formeln voraus, dass die
einstufigen Systeme, auf welche sie sich beziehen, durch keine
andem als solche Bedingungen definirt werdem In derartigen Systemen
treten keine andem als die folgenden elf Ausartungen auf,
welche man, bis auf 9- und -9'', durch die schon bei den Ausartungen
der Cf und Cf in §§ 23 und 24 angewandte Methode
der homographischen Abbildung erzeugen kann. Bei der Beschreibung
dieser elf Ausartungen sind die in § 21 eingeführten Termini
Ordnungsgerade, Klassenaxe, Eangbüschel, Eangpunkt, Eangebene etc.
benutzt.
1. Die Ausartung X besteht aus einer ebenen Ordnungscurve /;
dritten Grades, welche zugleich Rangcurve vierten Grades ist, also
einen Doppelpmikt besitzt. Die Schmiegimgsebenen von X bilden
drei Ebenenbüschel, deren Axen die drei Wendetangenten der Curve
k sind. Zur Berechnung der A enthaltenden Symbole hat man daher
die Kenntniss der Anzahlen der cubischen Plancurve mit Doppelpunkt
nöthig. Beschränkt .man sich auf die
V, p, v\ p', P, P', T
enthaltenden Symbole, so reichen die Anzahlen aus, welche in der
ersten Tabelle von § 24 (pag. 157) zusammengestellt sind.
2. Die Ausartung X' entspricht X dual. Die numerischen
Werthe der A' enthaltenden Symbole sind also mit den numerischeu
Werthen gewisser X enthaltenden Symbole identisch. Zur Berechnung
der letzteren reicht die Tabelle auf pag. 157 flg. aus.
3. Die Ausartung x besteht aus einer ebenen Ordmmgseurve h
dritten, Gra,des mit Sjiitzo. Die Tangenten von k sind auch Tangenten
von X, X ist also Rangcurve dritten Grades. Dazu kommt
a,l)(;r noch ein I\.angl)üsclu4, dessen Ebene durch dio lUickkehrtaugentc!
von k g(!ht, olme mit der Ebeue von Ä: zusammenzufallen
und d(sssen Schiitel die Spitze von k ist. % besitzt ferner eine
do])i)elte Kla.ssenaxe, die mit der Rückkohrtangente von k zusaiu-