'1t 1^9 - JScholarship

Die Charakteristikentheorie. 301
Ist 2' zweistufig, 2 vierstufig, so ist:
5) xp =yä .pe^ +p'd .y e,
6) xe=p'd .pe^ + e'^.p^e.
Ist 2' dreistufig und auch 2 dreistufig, so ist:
7) xp =y8. gs +y3 .^+yP .'^+^'. y+e's. ^»^
8) x-e =y3. e^ + e'ä .^+^' e» .^+ ^'. e^ + e'^ .y.
Ist 2' dreistufig und 2 vierstufig, so ist:
9) xp^=p'*.pe^+p'*.p^e+^' .p^e,
10) xpe =y^ .pe^ + p'd .pe^ +p'd .p^e + d* .y e,
11) xe^=p'd .pe^ + d^ .pe* + d^ .p^e.
Ist 2' vierstufig und auch 2 vierstufig, so ist:
12) xp*=p'*d .p^e,
13) xpe=p'*d .pe^+p'd^ .p^e,
14) xe*=p'e'^ .p^ (auch als Zahl der Schnittpunkte
zweier Plancurven).
Eine naheliegende Anwendung der Strahlbüschelformeln bezieht
sich auf die Berührung von Flächen. Die Tangenten einer Fläche
bilden nämlich ein zweistufiges System von Strahlbüscheln, und
man sagt von zwei Flächen, dass sie sich berühren, wenn die ihnen
angehörigen Strahlbüschelsysteme ein gemeinsames Element besitzen.
Folglieh sind die theilweise schon in § 14 aus den Coincidenzformeln
abgeleiteten Anzahlen für die Berührung von Flächen
spedelle Fälle der Formeln 3 bis 14. Eine Fläche F w*" Ordnung,
r' Ranges, k*"^ Klasse besitzt nämlich ein zweistufiges System von
Tangentenbüscheln, bei welchem zu setzen ist:
p^ = n, pe = r, e^ = k.
Femer ist bei einem einstufigen Flächensystem p^ gleich der
Zahl g der durch einen Punkt gehenden Fläche, pe gleich der
Zahl V der eine Gerade berührenden Flächen, e^ gleich der Zahl q
der eine Ebene berührenden Flächen. Endlich ist bei einem zweistufigen
Flächensysteme p^e gleich der Zahl & der eine gegebene
Gerade in einem gegebenen Punkte berührenden Flächen, pe^ gleich
der Zahl (p der eine gegebene Gerade in einer gegebenen Tangentialebene
berührenden Flächen. Folglich ist cUe Zahl derjenigen
Flächen dnes einstufigen Systems (g, v, q), welche dne Fläche (n, r, k)
berühren, nach Formel d gleich
n-.Q + r .v + k.g.