'1t 1^9 - JScholarship

22 Erster Abschnitt.
nennen wir sie allgemeingiltig. Nicht allgemeingiltig, sondern n
giltig für gewisse Systeme sind z. B. in § 13 Nr. 14 bi.s 17,
ferner die Formeln der §§ 25 und 26. Wenn über den Giltigkeitsbereich
einer Formel nichts festgesetzt ist, so ist sie allgemein­
giltig.
§6.
Die Gleichungen zwischen den Giundbedingungcn jedes
der drei Hauptclemente.
Bis vor einigen Jahren studirte man von den Systemen der
geometrischen Gebilde fast nur die Punktsysteme, d. h. Curven und
Flächen, und wegen des Princips der Dualität auch wohl die
Systeme von Ebenen. Erst seit Kurzem erkannte man den Strahlsystemen
gleiches Anrecht zu und bildete die Liniengeometrie aus.
Ueber Systeme von anderen Gebilden aber, als von diesen 3 Hauptelementen,
existiren bis jetzt nur sehr wenig Untersuchungen (Lit, 9).
Deshalb ist es zunächst wichtig, bei den 3 Hauptelementen die
Beziehungen zwischen ihren Grundbedingungen festzustellen.
Für den Punljt p sind in § 2 die Bedingungen p, pg, P definirt.
Dazu gesellen sich die zusammengesetzten Bedingungen j)^,
lU'i/, P^- Besitzt ein Gebilde F nur einen einzigen Punkt jk so bedeutet
nach den Festsetzungen des § 2 erstens p^ die Zahl derjenigen
Gebilde eines zweistufigen Systems, welche ihren Punkt j) auf zwei
gegebenen Ebenen, also nothwendig auf deren Schniftgeraden haben,
zweitens pg die Zahl derjenigen Gebilde, welche p auf einer gegebenen
Geraden haben. Nach dem Princip von der Erhaltimg der
Anzahl sind also die Zahlen p* und pg einander gleich. Da das
zweistufige System ganz beliebig war, so ist also immer richtig
die Gleichung:
aus welcher durch symbolische Multiplication mit p folgt:
^) P" -PP9-
Da ferner ein Pimkt, welcher sowohl auf einer oeo-ebenen
Eb(MU!, wie a,uch auf einer gegebenen Geraden liegen solf nothwendig
der Schnittpunkt beider sein muss, so ist; ° '
3) ppg = P
Also ist auch wegen 2:
4) y._p.