'1t 1^9 - JScholarship

282 Sechster Abschnitt.
„Ein Gebilde F mit der Constantenzahl e sei Element dnes ganz
beliebigen i-stufigen Systems 2 und auch Element eines ganz beliebigen
{c — i)-stufigen Systems 2'. Beiden Systemen ist dne endliche Anzahl
X von Gebilden F gemeinsam. Es wird für alle möglichen Werthe
von i verlangt, die Anzahl x als Summe von m Producten darzustellen,
deren jedes aus zwei Faktoren besteht, von denen der erste
FaUor immer angiebt, wieviel Gebilde aus 2 dne i-fache Bedingung
erfüllen, der zweite Faktor angiebt, wieviel Gebilde aus 2' eine {c—i)fache
Bedingimg erfüllen. Das Problem gilt als gdöst, gleichviel wie
gross die Zähl m wird und gleichviel, welche i-faehen und welche
{c — i)- fachen Bedingungen * zur Bildung der Producte verwandt
werden mussten. Da man für alle möglichen Werthe von i und c — i
Formeln aufzustellen hat, so besteht die Lösung des Charakteristilcenproblems
in der Aufstellung von | c oder ^{c — 1) Formeln, je nachdem
c gerade oder ungerade ist."
Die Formeln, welche die gesuchte Zahl x ausdrücken, sollen
Charakteristikenformeln und die in ihnen auftretenden Bedingungen
Charakteristiken heissen. Das Symbol x soll zugleich auch die
c-fache Bedingung bedeuten, welche das Gebilde F dadurch erfnllt,
dass es den beiden Systemen 2 und 2' gemdnsam ist. Multiplicü-t
man eine Charakteristikenformel mit einer 7«-fachen auf F bezüglichen
Bedingung z, so darf man sowohl die auf 2 bezüglichen
«-fachen Symbole, wie auch die auf 2' bezüglichen (c —«)-fachen
Symbole multipliciren. Je nachdem erhält man eine Formel, welche
sich auf ein (7c+ «)-stufiges und ein (c — «)-stufiges oder auf ein
«-stufiges und ein (c + Ä — «)-stufiges System bezieht. In beiden
Fällen bezeichnet xz die Zahl derjenigen Gebilde F, welche den
beiden Systemen gemeinsam sind und ausserdem die Bedingung .r
erfüllen. So kann man dm-ch blosse symbolische Multiplication aus
jeder ursprünglichen Charakteristikenformel eine unbeschränkte Anzahl
neuer Formeln erhalten, welche abgeldtete Charakteristikenformeln
heissen sollen.
Für den Punkt und die Ebene wird das Charaldeiistikmiproblcm
durch die Bezout'schen Sätze (§ 13, pag. 47) gelöst. Ist nämlich ehi
einstufiges System 2 von Punkten, d. h. eine Curve, imd ausserdem
ein zweistufiges System 2' von Punkten, d. h. eine Fläche, gegeben,
so haben beide eine endliche Anzahl x von Punkten gemeinsam.
* Niiiuontlioh künnon dies auch Ausartungsbedingungen sein.