'1t 1^9 - JScholarship

Die Berechnung von Anzahlen durch Ausartungen. 109
die Formel 21 des § 15 auf 2, 4, 6;
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§ 15
§ 15
§ 17
§ 1''
§ 17
8, 10, 12, 14;
16;
23, 24, 25;
17, 19, 21;
18, 20, 22.
Natürlich würde auch in jedem der 25 Fälle eine ein- oder mehrmalige
Anwendimg des ursp-ünglichen Chasles'schen Correspondenzprincips
zum Ziele führen. Doch wären dann in jedem einzelnen
Falle immer wieder die geometrischen Ueberlegmigen nothwendig,
welche im III. Abschnitt bei der Ableitung der allgemeinen Coincidenzformeln
dn für alle mal gemacht sind. Wir lassen nun die
25 Formeln folgen, welche aus den eben besprochenen Anwendungen
resultiren. Dabei ist die Zahl der Coincidenzen immer
rechts vom Gleichheitszeichen geschrieben. Von den in die Formeln
eintretenden Ausartungsbedingwigen ist durch die Arbeiten der
Herren Maillard (Doctordissertation 1871) und Zeuthen (Comptes
rendus tome 74 [Lit. 34]) die Bedingung bekannt, welche ausspricht, dass
die C^ in einen Kegelschnitt und eine ihn berührende Gerade zerfallen
soll. Eine solche Cg^ bezeichnen wir mit 6 und ebenso die
einfache Bedingung, dass die C^ zu einer Curve e ausarten soll.
Die Ausartung 6 lässt sich mit Hilfe der in § 20 eingeführten
Termini kurz so beschreiben:
„ö hat dnen- in der Ebene g befindlichen Ordnungskegelschnitt k,
der zugldch Eangkegelschnitt ist und von dner einfachen Ordnungsgeraden
a in dnem einfachen Eangpimkte d berührt wird. Die Spitze,
der Wendqnmkt und der Schnittpunkt von Wendetangente und Eückkehrtangente
fallen in den Eangpunkt d, die Wendetangente, Bückkehrtangente
und der Verbindungsstrahl von Spitze und Wendepunkt
fallen in die Ordnungsgerade a."
Die Ausartung 6 ist die einzige Ausartung der C^^, welche
durch eine neunfache, bloss aus g, v, g zusammengesetzte Bedingung
bestimmbar ist. Die Bedingung ö führen wir sofort in die
25 Formeln ein; die Zahl aller übrigen in jede der Formeln eintretenden
Ausartungen bezeichnen wir vorläufig mit Ki, wo i die
Nummer der Formel ist. Jede Zahl «.,: heisst der singulare Defeet
derjenigen Formel, welche die Nummer i trägt. Bei Voraussetzung
eines einstufigen Systems, dessen definirende Bedingung nur g, v, g
enthält, ist jeder singulare Defeet gleich null.