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'1t 1^9 - JScholarship

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Die Berechnung von Anzahlen durch Ausartungen. 97<br />

Mit Hüfe der obigen Kegelschnittanzahlen fij/"pä--" kann<br />

man, T,ne erst iu § 38 allgemein bewiesen wird, alle auf Kegelschnitte<br />

bezüglichen Anzahlen ausdrücken (Lit. 51). Beispielsweise bestimmen<br />

wir die Zahl iV" derjenigen Kegelschnitte, welche, in fester<br />

Ebene liegend, fünf in derselben Ebene liegende Kegelschnitte berühren.<br />

Diese Zahl ergiebt sich § 14 Nr. 1 in folgender Weise:<br />

ft%(2i/-f2p)» = 25(l-f 5i.2-F 5^.4 + 53.4-f 5,. 2 + 1)<br />

= 32.102 = 3264 (Lit. 31).<br />

Durch duale Uebertragung aller Betrachtungen dieses Paragraphen<br />

erhält man analoge Kesultate für den Kegel zweiten Grades.<br />

§ 21.<br />

Die Cliasles-Zeuthen'sclie Reduction (Lit. 32).<br />

Die im vorigen Paragraphen für Kegelschnitte benutzte Chasles-<br />

Zeuthen'sche Methode zur Bestimmung der Anzahlen, welche angeben,<br />

wieviel Gebilde gegebene Bedingungen eriüUen, besteht wesentlich<br />

in der Aufstellung von Formeln, welche die gesuchten, einem<br />

Gebilde F zukommenden Anzahlen durch Vermittelung der ausgearteten<br />

Gebilde F auf Anzahlen zurückführen, die andern einfacheren<br />

Gebilden- von kldnerer Constantenzahl zugehören, und deshalb bei<br />

einem systematischen Gange der Untersuchungen als bekannt vorausgesetzt<br />

werden dürfen.. Die Formeln zwischen den Au.sartungsbedingungen<br />

einerseits imd den übrigen Bedingun.gen andererseits<br />

erhält man immer leicht durch Anwendung der Coincidenzformeln<br />

oder des Princips von der Erhaltung der Anzahl. Aufschlüsse über<br />

die Gestalt der Ausartungen und über die Art und Weise, wie<br />

dieselben gegebene Bedingungen zu erfüllen vermögen, erhält man<br />

erstens dadurch, dass man die analytisch - geometrischen Darstellungen<br />

des Gebildes discutirt, zweitens dadurch, dass man dieselben,<br />

wie dies in § 20 geschehen ist, aus dem allgemeinen Gebilde<br />

durch, gewisse homographische Abbildungen erzeugt, drittens auch<br />

dadurch, dass man bei Bestim.mung dner und derselben Zahl auf<br />

verschiedenen Wegen die Mittel in der Hand hat, um Rückschlüsse<br />

über die Eigenschaften der benutzten Ausartungen zu machen.<br />

Wir setzen nun. voraus, man habe für ein einstufiges System<br />

von Gebilden F hinreichend viele Gleichungen abgeleitet, um die<br />

Bedingung z durch die Ausartungsbedingungen<br />

1 J 2 ? ^5 ? *' '<br />

Schubert, Kalkül (Her abzählenden Geometrie. 7

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