'1t 1^9 - JScholarship

Die Charakteristilcentlieorie. 293
Die Formeln 5 und 6 ergeben auch ohne Weiteres die Formeln
für die gemeinsamen Gebilde F von mehr als zwd Systemen.
Sind drei Systeme gegeben, so haben sie eine endliche Anzahl von
Gebilden F gemein, wenn ihre definirenden Bedingungen die Dimensionssumme
5 haben, d. h. ihre Systeme die Stufensumme 10 haben
und so fort. Ueberhaupt haben i Systeme mit der Stufensumme s
immer ein [s —5(«'—1)]-stufiges System von gemeinsamen Gebilden
(§ 3). Beispielsweise bestimmen wir die Anzahl der Gebilde, welche
fünf gegebenen vierstufigen Systemen
^1, ^2, ^3, -^4, ^6
gemdnsam dnd.- Bezeichnet immer «.,: die Zahl derjenigen Gebilde
aus 2?/, welche ihren Strahl in einer gegebenen Geraden besitzen,
ßi die Zahl derjenigen Gebilde aus 2i, welche ihren Strahl in einer
gegebenen Ebene und zugleich ihren Punkt auf einer gegebenen
Geraden haben, so ist die einfache Bedingung Zi, dass ein Gebilde
F dem Systeme 2i angehört, nach Formel 5 gleich
p.ai + g.ßi,
wo p und g die einfachen Bedingungen bedeuten, dass ein Gebilde
F seinen Punkt auf einer gegebenen Ebene besitze, seinen Strahl
eine gegebene Gerade schneiden lasse. Demnach erhält man für
die fünffache Bedingung z,Z2ZgZ^z^, dass ein Gebilde F allen fünf
Systemen, angehöre, die Formel:
22) 0,Z2ZsZ^z^ = {a,.p + ß,.g){a2.p + ß2.9){ci3.p + ß3.9)
{cCi.p + ßi.9){a^.p + ß6-9)-
Nach Ausführung der rechts angezeigten Multiplicationen erhält
man 32 Glieder, von denen nur diejenigen von null verschieden
sind, welche eines der drei Symbole
p»g^, pY, P9^
enthaltem Nun ist aber pY=l, i>Y = 2, i>/ = 2 (§ 19); also
kommt für die gesuchte Zahl x der den fünf Systemen gemeinsamen
Gebilde, wie man leicht übersieht:
23) x=l. {a,a2a^ßj^ + «i^aßi/^s/^s + «i«2«5^3/34+ «i«s«4/^2/55
+ a,asarj2ßi+ ^l'^i«6ß2ßs+ '^2«B