'1t 1^9 - JScholarship

Die Chai-akteristikentheorie. 283
welche man bekanntiich erhält, wenn man die Gradzahlen der Curve
und der Fläche mit einander miütiplicirt, d. h. die Zahl der 2 angehörigen
und in einer gegebenen Ebene liegenden Punkte mit der
Zahl der 2' angehörigen und in einer gegebenen Geraden liegenden
Panl,rte. Bezeichnen also p resp. p' die Bedingungen, dass eiu 2
resp. 2' angehöriger Punkt in einer gegebenen Ebene liegen soll,
pä resp. p'^, dass ein solcher Punkt auf einer gegebenen Geraden
hegen soll, so haben vrir, gemäss den obigen Erörterungen, die
eme Charakteristikenformel des Punktes so zu schreiben:
10) x=p.p)'^.
Hieraus folgt durch symbolische Multiplication mit p die abgeleitete
Charakteristikenformel für zwei gegebene zweistufige Systeme:
11) xp=p^ .p'^^
eine Formel, welche nichts anderes ausspricht, als dass der Grad
der Schnittcurve zweier Flächen gldch dem Producte ihrer Gradsahlen
ist.
Für den Strahl wird das Charakteristikenproblem durch die in
§ 15 aus den Coincidenzformeln abgelesenen Halphen'schen Sätze
(pag. 62) gelöst. Wir bezeichnen wieder die beiden gegebenen
Systeme mit 2 und S\ ferner die Grundbedingungen des Strahles
mit g, 9e, 9p, g.,, G, wenn sie auf 2 zu beziehen siud, und mit g',
(je, 9'p, g's, G', wenn sie auf 2' zu beziehen sind. Dann lauten
die Charakteristikenformeln des Strahles erstens, wenn 2 einstufig,
2' dreistufig ist,
12) x = g.g'e,
zweitens, wenn beide Systeme zweistufig sind,
13) x = ge.g'e+gp.g'p.
Es ist also, beim Strahl die einstufige und deshalb auch die dreistufige
Charakteristikenzahl gleich 1, die zweistufige aber gleich 2,
was fiir die Liniengeometrie von fundamentaler Bedeutung ist.
Die Formel für xg bei einem zweistufigen und einem dreistufigen
Systeme erhält man entweder durch Multiplication von 12
mit 5 oder von 13 mit 5'; in beiden Fällen erhält man:
14) xg = ge.g'e + gp.g's.
Die Formeln für xge und xgp bei zwei dreistufigen Systemen
resultiren aus 12 durch Multiplication mit ge und 5^; nämlich;
15) X9e = gs-9's
und
16) xgp = 9^.9',.