'1t 1^9 - JScholarship

Die Coincidenzformeln. 49
Durch duale Umformung der in diesem Paragraphen abgeleiteten
Coincidenzformeln für das Punktepaar erhält man die Coincidenzformeln
für das Ebenenpaar. Bezeichnet man mit e und f
die beiden Ebenen, mit h die Schnittgerade der beiden Ebenen,
mit £ die Bediugung, dass sie unendlich nahe liegen, so erhält
man z. B.
aus 1
aus 2
aus 3
aus 5
aus 7
s = e + f—h,
Eh=e^-\-f^-\-hp — he.
she = e^-\-f°-\-hs,
Eh^e^hp + f^'hp + H,
Ee = ef—hp,
aus 12: Eh-i-se=e^-{-ef-\-f^ 2 — he,
aus 13: she-\-shp-i-2 .se^-^e^-he^f+ep-i-f •-•3
Aus diesen Formeln folgen, entsprechend den oben abgeleiteten
Bezout'schen Sätzen für Punktörter, die Bezout'schen Sätze für
Ebenenörter, welche sich so aussprechen lassen:
„Ein zweistufiges System von Ebenen, von welchem m Ebenen
durch jede beliebige Gerade gehen, hat mit einem andern zwdstufigen
System von Ebenen, von welchem n Ebenen durch jede beliebige Gerade
gehen, dn einstufiges System von Ebenen gemdn, von ivelchem
m. n Ebenen durch jeden beliebigen PunM gehen."
„Ein zweistufiger Ebenenort m^ Grades hat mit dnem einstufigen
Ebenenort n'^ Grades m.n Ebenen gemein."
„Drd zweistufige Ebenenörter m', w* und P"" Grades haben
m.n.l gemdnsame Ebenen."
Die oben für das Punktepaar und für das Ebenenpaar aufgestellten
Coincidenzformeln erledigen natürlich auch die Fälle, wo die Punktepaare
in fester Ebene liegen, d. h. sämmtlich die Bedingung ge erfüllen,
resp. wo die Ebenenpaare durch einen festen Punkt gehen,
d. h. sämmtlich die Bedingung hp erfüllen. Es seien z. B. in fester
Ebene, die wir als Ebene der Bedingung ge betrachten, zwei einstufige
Punktsysteme, d. h. Plcmeurven gegeben. Dann ordne man
jeden Punkt des einen Systems jedem Punkte des anderen Systems
zu und wende Formel 5 an. Dann ist sg^ die Zahl der gemeinsamen
Punkte, p^ge und q^ge gleich null, aber G gleich der Zahl
der Punktepaare, welche auf einer Geraden der Ebene liegen. Also
ergiebt sich:
„Zwei Planciirven m'^'" und n*'"- Grades schneiden sich in m.n
Punkten."
Sohtibert, Kalkül der abzählenden Geometrie. 4