'1t 1^9 - JScholarship

278 Sechster Abschnitt.
ausgedrückt werden kann, so lässt sich die Zahl derjenigen Gdiilde F,
welche einem i-stufigen Systeme S und einem (c — i)-stufigen Systeme
2J' gemdnsam sind, als eine Summe von m Producten von je zwd
Faktoren darstellen, von denen der erste Faktor immer angiebt, wieviel
S angehörige Gebilde dne i-fache Bedingung erfüllen, der zweite Faktor
immer angiebt, unedel H' angehörige Gebilde eine (e — i)-faclie
Bedingung erfüllen. Die m i-fachen Bedingungen und die m (c — i)faclten
Bedingungen können ganz willMirlich gewählt werden, nur
müssen sie von dnander unabhängig sein. Um die Zahl der gemeinsamen
Gebilde der bdden Systeme so OMSZudrücken, ist die Kenntniss
der folgenden Zählen erforderlich, erstens der m Zählen, welche angeben,
wieviel U angehörige Gebilde jede der gewählten m i-faehen Bedingungen
erfüllen, zweitens der m Zählen, welche angeben, wietnel S'
angehörige Gebilde jede der gewählten m (c — i)-fachen Bedingungen
erfüllen, drittens der m^ Zahlen, welche angeben, wieviel Gebilde die
m'^ zusammengesetzten Bedingungen er fallen, deren jede aus eitler der
i-faehen und einer der (c — i)-fachen Bedingungen besteht.
Beispielsweise nehmen wir als bekannt an, dass bei einem
Kegelschnitt in fester Ebene jede einfache Bedingung durch die
beiden oben definirten Bedingungen g und v ausgedrückt werden
kann. Wir können uns dann die Aufgabe stellen, die Zahl % der
Kegelschnitte zu bereclinen, welche einem gegebenen einstufigen
Systeme 2 und einem gegebenen vierstufigen Systeme 2J' gemeinsam
sind, und zwar können wir zur Berechnung für 2 zwei einfache
und für U' zwei vierfache Bedingungen beliebig annehmen.
Es seien dies für H die beiden Ausariungsbedingungen S und f,
für U' die beiden Bedingungen g''^ und v'*, welche bezeichnen, dass
ein Kegelschnitt in 2' durch vier gegebene Punkte gehen resp.
vier gegebene Gerade berühren soll. Die definirende Bedingmig
von 2 sei y, die von 2' sei z; dann können wir schreiben:
Z=CCi.d+a2.B,
wo wir a, und a^ zu bestimmen haben. Wir multipliciren deshalb
mit g'^ und v^; dann bekommen wir rechts dg^, sg^, d'r'', sv\
Nun ist aber (§ 20, pag. 94)
dft' = 3, £|u.* = 0, dr*=0, £v-* = 3;
also kommt:
g'^-z = 3. «1 + 0.