'1t 1^9 - JScholarship

Die mehrfachen Coincidenzen. 237
15. Die dreifachen Tangenten einer Fläche w"'" Grades bilden ein
Linienfläehe vom Grade
i.n{n-5){n-4){n-5){n^ + 5n-2).
17. Eine Fläche w'« Grades besitzt 5.n{n — 4){ln-12) Punkte,
in denen eine Tangente fünfpnmktig berühren kann.
18. Eine Fläche n*"" Grades besitzt
2.n{n-4){n-b){n + 6){5n-b)
vierpunktig berührende Tangenten, welelie noch anderswo zweipunktig
beriÜiren.
21. An dne Fläche n*^ Grades lassen sieh
^.n{n-4){n-b){n-6){n-l){n^ + 6n^ + ln-50)
vierfache Tangenten legen.
Es bietet keine Schwierigkeit dar, den 21 Formeln noch diejenigen
hinzuzufügen, welche auf die Bedingungen Bezug nehmen,
dass ein dnfacher Schnittpunkt der mehrfachen und mehrpunktigen
Tangenten auf einer gegebenen Ebene resp. einer gegebenen Geraden
liegen soll. Dies verdeutlichen die folgenden Beispiele.
22. Der Grad der Curve derjenigen Punkte, von welchen sich
anderswo berührende dreifache Tangenten ziehen lassen, ist gleich \ von
Pl fe +Pb-9) {Pi+Pt, -9) {Pe +P7 -9)
= 8 -PiPiPsPi - 12 • 9P1P2P3 4- 6. g%p2 - g^Pi
= 8 .PiPiPsPi —12 • 9ePiP2 - 12 .Pi^PiPs + 6. gePiPi + 6.G-2.G
= 8 .PigiPaPi -12 •Pi^P2Pb - 6 • 9ePiP2 + 4. ff
= 8.w'{^w'-6n + 5){n-^{n-b){n-6)
-12.w'{n-l){n-5){n-^{n-'6){n-6)
- 6. w« (w - 2) (w - 3) (w - 4) (w - 5) {n - 6)
+ 4.?i(w-l)(%-2)(w-3)(w-4)(w-5)(w-6)
= 2.w(w-4)(w-5)(j*-6)(wä + 3w^-2w-12).
23. Die Zahl derjenigen Haupttangenten, welche, von einem gegebenen
Punkte der Fläche ausgehend, anderswo berühren, ist gleich
1
— von
n
Pl iPi-lrPi-9) (P2 +Pi-9)
'^PiW + ^-PMPb-^-9Pi'P2+Pi'9'
=PiW + 3 .Pi'P2Pb + 4 -PiW + Gr
==5.p^P2Pa-5.Px^pi+G
= 5n\n-l){n-5)-5._ n^ {n-2){n-5) + n{n-l){n- 2) {n - 3)
= n{n-5){n'' + 2).