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Die Coincidenzformeln. 51
WO ji angiebt, wieviel Plancurven des Systems durch einen gegebenen
Punkt gehen. Andererseits bilden die Tangenten der gegebenen
Plancurve eiuen Strahlenort vom Grade n, wenn n der
Rang der Plancurve ist. Also haben beide Strahlenörter nach den
Bezout'schen Sätzen (§ 13 am Schluss) (ft + v). n Strahlen gemeia.
Wir haben demnach fiir q die Zahl (fi -f v) . w einzusetzen. Um g zu bestimmen,
haben wir von dem Punkte, in welchem die Gerade der
Bedingung g die Ebene der Plancurve schneidet, an letztere die n
Tangenten zu ziehen und auf jeder Tangente den Berührungspunkt
mit jedem Punkte zusammenzufassen, wo die Tangente von einer
Curve des Systems berührt wird. Also ist g hier gleich n.v;
folglich ist:
B=m.v-'rn.{^-\-v) — n.v
oder
£ = m . V-|-w. ft.
Das betrachtete einstufige System von Punktepaaren besitzt
also m.v-\-n.(i Coincidenzen; dies heisst: es giebt auf der Plancurve
OT.v-f n.ft Tangenten, welche von Plancurven des Systems
in ihrem Berührungspunlcte berührt werden. Damit ist also die gesuchte
Zahl bestimmt (cf. § 39, Anwendung I).
Aehnlich findet man, dass in einem einstufigen System von
Raumcu-rven
V .r-\- Q .n
Raumcurven existiren, welche eine gegebene Fläche w*®' Ordnung,
r* Ranges berühren, wo v angiebt, wieviel Raumcurven des Systems
eine gegebene Gerade schneiden, p angiebt, vrieviel eine gegebene
Ebene berühren (cf. § 39, Anwendung II).
2. Gerade so kaim man auch durch Anwendung der Coincidenzformeln
zweiter Dimension den Grad der Curve bestimmen, die bei
zwd gegebenen Systemen von Plancurven durch die Berührungspunkte
aller möglichen sich berührenden Curven gebildet wird, und natürlich
auch die dieser Zahl dual entsprechende Zahl. Die beiden
Systeme seien 27j und Z,^. Fiir 27^ bezeichne fij, wieviel Curven
durch einen gegebenen Punkt gehen, Vj, wieviel Curven eine gegebene
Gerade berühren. Für S^ seien die entsprechenden Zahlen
ju-g und .v^. Auf jeder der oo^ gemeinsamen Tangenten bildet jeder
dem Z^ angehörige Berührungspunkt p mit jedem dem E,^ angehörigen
Berührungspunkte q ein Punktepaar. Die so bestimmten
Punktepaare bilden ein zweistufiges System, auf welches die Coincidenzformeln
7 und 2 des § 13 angewandt werden sollen, nämlich
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