'1t 1^9 - JScholarship

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Fünfter Absclmitt.
Das Coincidenzsymbol wird aber in zwei Fällen erfüllt, erstens
bei jedem Punkte, in dem zusammenfällende Haupttangenten vierpunktig
berühren, zweitens zweimal bei jedem Punkte, in welchem
die beiden Haupttangenten, getrennt liegend, vierpunktig berühren. Die
Zahl der im ersten Fall genannten Punkte ist in Nr. 26 berechnet.
Die auf den zweiten Fall bezügliche Zahl ist die gesuchte. Für
diese erhalten wir also:
^ . £4&4 . (10 w - 18) -1. £4$r - (« - 2) . £4&4
= £4&4. (4« - 7) - f. BJ (Lit. 47).
Nach Substitution der oben berechneten Werthe für bJ)^ und
£4^ erhalten wir das Resultat:
„Eine Fläche vf^^ Ordnung besitzt
bn.ifln^-28n + 50)
Punkte, in denen die bdden Haupttangenten vierpunMig berühren, ohne
zusammenzufallen."
Für w = 3 erhält man hieraus die Zahl 135 der Schnittpunkte
der 27 auf einer Fläche dritter Ordnung liegenden Geraden.
Der Verfasser hat in seinen „Tangentensingularitäten" (Math
Ann. Bd. 11 pag. 377) ausser der eben berechneten Anzahl und
den meisten der vorangehenden Anzahlen noch viele andere Resultate
bestimmt, aus welchen wir hier die folgenden hervorheben:
30. Die Zahl der in parabolischen Punkten dreipunktig und noA
anderswo zweipunktig berührenden Tangenten beträgt:
2n {n - 2) {n - 4) (3w^ + 5n- 24).
31. Die Zahl der an dner Stelle dreipunktig, an einer anderen
Stelle zwdpunktig berührenden Tangenten, bd denen die Tangentialebenen
der bdden Berührungspunkte zusammenfäüen, oder, icas dasselbe
ist, die Zähl derjenigen Doppeltangentialcbeneti, bd denen der
Verbindungsstrahl der bdden Berührungspivtikte in einem dieser Berührungspunkte
drdpunktig berührt, beträgt:
n {n - 2) {n - 4) («»+ 3«^ + 13«. - 48).
32. Die Zahl derjenigen Punkte, in denen die eine Hattpftangciite
vierpunktig, die andere nur tlreipunMig, cd)m' noch andcrsicd swcipunktig
berührt, beträgt:
n {n - -1) {21 n^ - 13«» - 264« + 396).
33. Die Zahl derjenigen Punkte, in -tvelchcn die beiden Hanpftange-'idcn,
getrennt liegend, drcipnnkfig bcrülircn, edter so, dass jede
von iliucn die Fläche noch anderstoo strcipunktig berührt, ist gleich: