'1t 1^9 - JScholarship

Die Berechnung von Anzahlen durch Ausartungen. 225
man sie auch aus den schon berechneten Anzahlen vermittelst mehrerer
Formeln zweiter Dimension erhalten. Um diese Formeln durch
das Prmcip von der Erhaltung der Anzahl abzuleiten, setzen wir
em zweistufiges System von Gebilden F voraus, nehmen zwei
Punkte C" und D' willkürlich an, denen wir zwei zusammenfallende
Punkte C und D zuordnen. Die Bedingung g% dass zwei durch C
und D' gehende Strahlen des Bündels B' den durch C und D
gehenden Strahlen in B conjugirt sind, erfüllt dann erstens jedes
r, bei welchem die durch C und D' gehende Ebene des Bündels
B' dem Strahle entspricht, der, in B liegend, nach den zusammengefallenen
Punkten C und D geht, zweitens auch jedes F, welches
zwei singulare Ebenen e und e' hat und dabei e durch die zusammenfallenden
Punkte C und D schickt. Also ist:
9) g^ = rj + Xe,
also auch:
10) g^ = 7j' + Xd.
Nehmen wir femer zwei sich, schneidende Strahlan d und d'
an und ihnen zugeordnet zwei zusammenfallende Strahlen c und d;
dann wird die Bedingung v^, die durch c' und d' gehenden Ebenen
des Bündels B' sollen den Ebenen conjugirt sein, die im Bündel B
nach c und d gehen, erstens erfüllt von jedem F, bei welchem die
durch c und d gehende Ebene im Bündel B dem Strahle entspricht,
welcher, iu B' liegend, nach dem Schnittpunkte von c' und d' geht,
zweitens auch von jedem F, bei'welchem die Schnittebene von d
und d' conjugirt ist zu der Ebene, die in B nach c und d geht,
d. h. von jedem F, welches die Bedingung vp' —p'^ erfüllt, drittens
von jedem F, welches zu einer Ausartung tc wird und dabei den
singulären Strahl g durch die Gerade schickt, in der c und d vereinigt
sind, viertens endlich von jedem F, welches seinen Scheitel
p auf c und d hat. Wir erhalten also:
11) v^ = rl + vp' + 7tg-p'^+p^,
12) v^ = rj + vp + %g'-p^+p'^.
Addirt man sowohl 9 und 10, wie auch II und 12, substituirt Xg
für Xe + Xd gemäss Formel 7, nv für itg + itg' gemäss Formel 8,
2g-V für X nach Formel 1, 2v-g—p-p' für tc nach Formel 2,
so kommt beide Male dasselbe Resultat, nämlich
13) gv = r\ + rf,
was auch direet abgeleitet werden konnte. Vermittelst dieser For­
meln erhält man z. B.
Schubert, Kalkül der atzäthlendDii Geometrie. 15