'1t 1^9 - JScholarship

Die Incidenzformeln. 31
„Bewegen sich bei einem räumlichen n^Eck alle Ecken mit Ausnahme
dner dnzigen auf n — 1 festen Ebenen, während seine n Seiten'
beständig durch n feste Punkte gehen, so beschreibt die ausgeschiedene
Ecke eine Eaumcurve dritter Ordnung, wenn n'^3 ist, einen Kegelschnitt,
wenn n = 3 ist."
Man beachte, dass der Beweis dieses Satzes ohne Weiteres
aus den Incidenzformeln folgt, also kein anderes, der Algebra entlehntes
Princip erfordert, als das von der Erhaltung der Anzahl (§ 4).
§ 10.
Die ührigen Incidenzformeln.
Dem in § 7 behandelten Gebilde, welches aus einem Strahle
und einem darauf liegenden Punkte besteht, entspricht dual das
Gebilde, welches aus einem Strahle und dner durch ihn gehenden
Ebene besteht. Die für dieses Gebilde geltenden Incidenzformeln
können also aus den in § 7 abgeleiteten Formeln direet abgelesen
werden. Die Ebene heisse e, der auf ihr liegende Strahl g. Dann
hat man zunächst:
IV*) eg = gp-\-eg,.
oder, insofern e^ für Cg substituirt werden darf (§ 6)
IV) eg = gp-\-e\
Daraus folgt:
e^9 = e9p + e%
und namentlich:
V) ege = gs + e%
femer die Formel vierter Dimension:
VT) e% = egs^G + e'g = G-^e%.
Die dritte der 4 in § 7 angeführten Incidenzen besteht aus
dner Ebene e und dnem in derselben befindlichen Punkte p. Die Formeln
zwischen den Grundbedingungen dieser Incidenz erhält man
durch blose Rechnung aus den bisher aufgestellten Formeln, indem
man beachtet, dass, wenn der Punkt p auf dem Strahle g liegt,
und dieser Strahl g in der Ebene e liegt, der Punkt p auf die
Ebene e fallen muss. Man hat also sowohl
wie auch
pg^p^Arge,
. e9-^ + 9p-
* Die römischen Nummern schliessen sich an die Nummern des § 7 a