'1t 1^9 - JScholarship

Die Berechnung von Anzahlen durch Ausartungen. 99
Berücksichtigt man dieses für jede Einzelbedingung, welche in
emer a zugeschriebenen Bedingung y steckt, so erhält man
schliesslich ay als eine Summe von Anzahlen, deren jede von
gelassen, als bekannt vorauszusetzenden Anzahlen der Theilgebilde
abhängt. Dadurch reducirt sich die Bestimmung der Ausartungsanzahlen
auf die Bestimmung gewisser Anzahlen der auf den Ausartungen
liegenden Theilgebilde. Zur Erläuterung einer solchen
Reduction diene das folgende Beispiel.
Wie- in § 25 gezeigt werden soll, besitzt die cubische Raumeurve
eine Ausartung (o von folgender Beschaffenheit. Die Punkte
von 0) bilden einen Kegelschnitt und eine Gerade N, welche diesen
Kegelschnitt in einem Punkte E schneidet, der Tangentenort von
(u wird durch die Tangenten jenes Kegelschnitts und durch die
Strahlen zweier zusammenfallender Strahlbüschel gebildet, deren
Scheitel E ist und deren Ebene durch N geht, dabei aber den
Kegelschnitt berührt. Aus dieser Beschreibung folgt, dass die Bedingung
V, die Raumeurve soll eine gegebene Gerade schneiden,
sich für die co spaltet und zwar in die Bedingmig n, dass die ra
ihren Kegelschnitt die gegebene Gerade schneiden lässt, und in die
Bedingnng N, dass die ra ihre Gerade N die gegebene Gerade
schneiden lässt. Daher ist:
vco = wra -\- Nco.
Femer folgt aus jener Beschreibung, dass auch die Bedingung
p, die Raumeurve soll eine gegebene Ebene berühren, sich für ra
spaltet, und zwar in die Bedingung r, dass der Kegelschnitt die
gegebene Ebene berühre, in die Bedingung S, dass der eine der
bdden oben erwähnten zusammenfallenden Strahlbüsehel einen in der
gegebenen Ebene liegenden Strahl enthalte, und in die Bedingmig S',
dass der andere der beiden ztisammenfallenden Strahlbüschel einen in
der gegebenen Ebene liegenden Strahl entlialte. Jede der bdden Bedingungen
S imd S' ist aber ersetzbar durch die Bedingimg E, dass
der Punkt i? auf der gegebenen Ebene liege.
Also ist:
p ra = f ra 4-P ra-f P ra = r ra-f 2E ra.
Durch symbolische Multiplication erhält man aus dieser und
der vorigen Formel alle Ausartungssymbole von der Form
raj/«p"-«- als Functionen der Symbole raw^r" A^^'P"-'-—"-'', und
damit die Berechnung der Ausartungszahlen ra zurückgeführt auf
Anzahlen, die sich auf die Theilgebilde von ra, den Kegelschnitt
und die drei Hauptelemente beziehen. Speciell ist:
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