'1t 1^9 - JScholarship

48 Dritter Abschnitt.
sondern er hat auch viele Singularitäten bestimmt, für deren Abzählung
die Algebraiker vergebliche Mühe aufwandten. Derartige
Anwendungen der Punktepaarformeln sind in den folgenden Paragraphen
in reichlicher Auswahl enthalten (cf §§ 33, 36, 44). Deshalb
wird es genügen, W(!nn wir hier für die Anwendung der
Punktepaarformeln nur ein einziges Beispiel hinzufügen. Dasselbe
ist der Salmon'schen „Analytischen Geometrie des Raumes entlehnt.
(In der Fiedler'schen üebersetzung Bd. II Art. 438 S. .552.)
Man soll die Ordnung x der l'läche beHtimm.en, welche durch
die Haupttangenten einer Fläche F w**" Grades in den Punkten
ihrer Durchschnittscurve mit einer Fläche F' w"*" Grades erzeugt
wird. Wir fassen auf jeder der cx^ Haupttangenten von F den Berührungspunkt
p mit jedem der w' Punkte ^ zusammen, welche die
Haupttangente mit F' gemein hat. Auf das so entstehende, zweistufige
System von Punktepaaren wenden wir die Punktepaarfbrmel 2
an. Dann haben wir für das Symbol jf die Zahl 2.«. n' zu setzen, weil
die Gerade der Bedingung p^ die Fläche F in n Punkten p sclmeidet,
in jedem dieser n Punkte zwei .Haupttangenten berühren, und jede
dieser beiden Haupttangenten die Fläche F in ;/ Punkten schneidet,
von denen jeder den n Punkten p als Punkt q zuzuordnen i.st.
Für das Symbol cf haben wir n!. n zu setzen, wenn % angiebt,
wieviel Haupttangenten an F von irgend einem Punkte des Raumes
gezogen werden können. Die Gerade von ^ schneidet nämlich F'
in w' Punkten q, und von jedem dieser q Piuikte gehen ai\ F %
Haupttangenten, welche in zugeordneten Punkten p berühren. Das
Symbol g,. ergiebt sich ähnlich gleich »?.«,', wenn r; angiebt, wieviel
Haupttangenten von F in irgend einem ebenen Schnitte liegen.
Ebenso erhält man, dass für gj, die Zahl % . n' einzusetzen ist, weil von
dem Punkte der Bedingung gp % Haupttangeuten an F gehen und
auf jeder Haupttangente der Berührungspunkt mit jedem der n'
Schnittpunkte auf!''' als Punktepaar zusammenzufassen ist. Also ist:
•c = 2 . w. n' -f jr. n' -f-« . ?/ jr. n\
oder '
x = n'. (2. n -f-1]).
Ist F pnnkt-all gemein, d. h. frei von Oopiielcurveu etc., so ist
rj von n abhängig, nämlich bekanntlich:
'J"=3«(»-2),
ein(! li'ormel, die sich auch a.us den Coiiu'ideuztoruudn sehr leicht
abhMten lässt (cC. t? .33, l