'1t 1^9 - JScholarship

306 Sechster Abschnitt.
gemein haben, dass auch ein darauf gelegenes KrümmungsciMtrum und
die zugehörige Hauptkrümmungsebene zusammenfällen.
V. Formel 9 giebt die Zahl derjenigen Ebenen, welche aus zwd
gegebenen zweistufigen Systemen von Complexen Complexcurven cmsschndden,
die einen vierfachen PunM sammt einer seiner vier Tangenten
gemdn haben (cf. in § 36 Formel 35 und 36).
VI. Formel 8 giebt die Zahl solcher Complexe dnes zwdstufigen
Systems von Complexen, deren singulare Fläche die singulare Fläclie
eines gegebenen Complexes derartig berührt, dass die der Berührwigsstelle
angehörigen singulären Strahlen bdder Complexe zusammenfallen.
VII. Um die Zähl derjenigen Ebenen zu bestimmen, welelie von
drei gegebenen Complexen Complexcurven enthalten, die dch in einem
und demselben Punkte berühren, haben wir mit Hilfe von Formel 8
die zweifache Bedingung auszudrücken, dass die in einer Ebene e
befindliche, einem der Complexe angehörige Complexcurve den
Strahl g in p berührt und darauf die so für die drei Complexe
resultirenden drei Formeln zweiter Dimension mit einander zu multipliciren.
Dadurch erhalten wir, wenn die Gradzahlen der drei
Complexe n,, «2, «3 sind, für die gesuchte Zahl
4. %. «2. «3 {n, + «2 + «3 — 3).
Ebenso, wie das in den §§ 39, 40, 41 behandelte Gebilde,
lassen sich noch viele andere aus mehreren Hauptelementen zusammengesetzte
Gebilde behandeln. Beispielsweise erwähnen wir
noch das Gebilde F', welches aus einem in fester Ebene befindlichen
Punkte p und Strahle g besteht, aber so, dass p und g nicht incident
sind. Auf die von einem solchen Gebilde erzeugten dreistufigen,
d. h. durch eine einfache Bedingung definirten Systeme
kam Clebsch in der Theorie der algebraischen Formen. Er
nannte solche Systeme Connexe (Lit. 52 a). Ist z irgend welche einfache,
dem Gebilde F' auferlegte Bedingung, so ist immer:
z = a.p + ß.g,
wo a angiebt, wieviel Gebilde z und die Bedingmig pg^ erfüllen,
ß angiebt, wieviel Gebilde z und p"g erfüllen, Clebsch nannte «
die Ordnung, ß dio Klasse des durch z bestimmten Oomiexes. Sind
vier Connexe C„ (7j, C^, C-,, mit den Ord.uungen k„ n.,, «3, a^, und
den Klassen ß„ ß^, ß^, ß^, gegeben, so kann man fragen nach der
Zahl X der ihuou gemeinsamen Gebilde F. Diese Zahl x ergiebt
sich sehr leicht aus: