'1t 1^9 - JScholarship

a und d, b und e,
Die Berechnung der Anzahlen durch Ausartungen. 113
w und c, q und v, z und y
für einander zu substituiren sind.
Die Symbole der eben durch homographisphe Abbildung erzeug-ten
zwölf Ausartungen sind so gewählt, dass solche Ausartungen,
deren Beschreibungen hinsichtlich des Punktorts und des
Tangentenorts genau überdnsümmen mit denselben Buchstaben, jedoch
verschiedenen Indices bezeichnet sind. Es bestehen nämlich:
1. ^1 und dg aus einer doppelten und einer einfachen Ordnungsgeraden
mit einem doppelten Rangpiuikte im Schnittpunkte beider
und einem einfachen Rangpunkte auf der doppelten Ordnungsgeraden;
2. ti, Tg, Tg aus drei einfachen Ordnungsgeraden, die sich, in
einem dreifachen Rängpunkte schneiden;
3. Sj^, «2; h ^^^ einer dreifachen Ordnungsgeraden, auf welcher
drei einfache Rangpunkte liegen;
4. ^i und ^2 3-118 einer zweifachen, und einer einfachen Ordnungsgeraden,
die sich in einem dreifachen Rangpunkte schneiden;
5. % und 7J2 aus einer dreifachen Ordnungsgeraden, auf welcher
ein einfacher und ein zweifacher Rangpunkt liegen.
Jede dieser zwölf Ausartungen, sowie auch ff, kann in einem
der zu betrachtenden einstufigen Systeme vorhanden sein, ausserdem
aber kdne andere Ausartung, ein Resultat, welches der Verfasser
allmählich durch Induction erkannt hat. Wir führen nun die zwölf
Ausartungsbedingungen
^1, ^2, '^1, ^2; ^3, «l; «2; h, ^i, ^27 Vi, %
in die 25 oben zusammengestellten Formeln ein. Jede der darin
enthaltenen Zahlen « ist natürlich eine Summe der mit gewissen
Coefficienten multiplicirten zwölf Ausartungssymbole. Aus der Beschreibung
der Ausartungen ersieht man in jedem der 25.12 Fälle
leicht, ob der Coefficient null ist oder nicht. Ist er nicht gleich
null, so kann er entweder algebraisch oder mit Benutzung des Um.standes
bestimmt werden, dass die 25 Gleichungen nur sieben von
einander unabhängige Gleichungen repräsentiren. Die 25.12 Coefficienten
sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt. Vermittelst
derselben ersetze man die Zahlen « der 25- Formeln durch
die zwölf Ausartungsbedingungen nach folgender Eegel:
Schubert, Kalkül der abzählenden Oeometrie. 8