'1t 1^9 - JScholarship

Die Charakteristikentheorie. 3]^ 7
Dann ist nach Formel 22 die gesuchte Zähl x der den beiden Correspondenzen
gemdnsamen Punktepaare immer ausgedrückt durch:
23) a: = a.ß' + ß.a' + a.b' + b.ä + c.d' + d.d.
II. Ist specieller in fester Ebene eine «-|3-deutige Beziehung der
beiden Punktfelder dieser Ebene und ausserdem eine a'-/3'-deutige
Beziehung gegeben, so hat man Formel 10 anzuwenden, indem man
die Bedingungen ge und g'e aus den Symbolen fortlässt, wdl dieselben
in die Definition der bdden Correspondenzen eingefügt sind; dann kommt:
X =p',2 . 9e +p'/ .p/ +p'% .p/ + g'e .p,2 + g'e • 9e.
Nun ist _Pi^ gleich «, p/ gleich ß, p'\ gleich «', p'\ gleich ß'
zu setzen. Bewegen sich der erste und der zweite Punkt je auf
einer Geraden, so beschreiben der zweite und der erste Punkt zwei
Curven, deren Grade gleich sein müssen. Sind diese Grade gleich
A, so ist es nicht nothwendig, dass die Verbindungsstrahlen der
dm-ch die Correspondenz zusammengehörigen, und auf der angenommenen
Geraden liegenden Punkte sämmtlich mit der angenommenen
Geraden zusammenfallen. Es mögen dies nur a unter jenen
J. Verbindungsstrahlen thun; die übrigen d=A — a Verbindungsstrahlen
müssen dann nothwendig Punkte verbinden, die auf der
angenommenen Geraden coinddiren. Endlich mögen die analogen
Zahlen für die zweite Correspondenz mit denselben Buchstaben,
aber gestrichelt, bezeichnet werden; demgemäss ist p,2 gleich d,
ge gleich a, p',2 gleich d', g'e gleich ä zu setzen. Also ist die gesuchte
Zähl X der den beiden Correspondenzen gemeinsamen Punktepaare
immer a/usgedrückt durch die Formel:
24) x = a.ß' + ß.a' + d.ä + a.d' + a.d.
Ist specieller die zweite Correspondenz dadurch verursacht,
dass man jeden Punkt einer in der festen Ebene gegebenen Plancurve
n^'' Grades mit jedem anderen auf ihr liegenden Punkte zusammenfasst,
so ist «' = 0, ß' = 0, d' = n, a' = n{n—l) zu setzen
und wir erhalten:
25) x = d.n{n—l) + a.n + a.n{n — l)
= d.n{n — l) + a.n^
für die Zähl x derjenigen Punktepaa/re der ersten Correspondenz, deren
beide Pumkte auf eine Plancurve n*'^ Ordnung fallen. Dieses Resultat
konnten wir auch direet durch folgende Ueberlegung erhalten.
Da es in der ersten Correspondenz A Punktepaare giebt, deren
beide Punkte auf zwei gegebenen Geraden liegen, so liegen nach
den Bezout'schen Sätzen oder, was dasselbe ist, nach der Charak-