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Die Berechnung von Anzahlen durch Ausartungen. 193
Behandelt man das Gebilde £ um sdner selbst willen, also abgesehen
von seinem Zusammenhange mit der linearen Congruenz
und mit alleiniger Rücksicht auf die Projectivität, so erhält man
die obigen Anzahlen aus den Anzahlen seiner Ausartung £6 (cf § 15),
fiir welche man dann folgende Definition auszusprechen hätte:
„Die Ausartung e6 besteht aus einem Strahle, welcher Träger
einer geraden Punktreihe und eines Ebenenbüschels ist, so dass eine
ausgeartete Projectivität zwischen den Punkten und den Ebenen stattfindet,
d. h. es ist jedem beliebigen Punkte eine und dieselbe (singulare)
Ebene und jeder beliebigen Ebene ein und derselbe (singulare)
Punkt zuzuordnen (§ 28)."
Die Ausartungsbedingung e6 ist dann mit den beiden Bedingungen
sß und ag durch die Gleichung verbunden, welche sich aus
Formel 4 durch Multiplication mit s ergiebt, nämlich:
2.ßa-2.ge = B6 (§ 15, Formel 22).
Die oben angegebenen Anzahlen der linearen Congruenz können
dazu benutzt werden, um alle Formeln des § 15 zu controliren;
z. B. ergiebt sich aus der Formel 31 des § 15 durch Multiplication
mit j3* und Ersetzung der Symbole durch Anzahlen:
0 + 0 + 0 + 0 + 2.4+18 = 1 + 7 + 5 + 5 + 7 + 1.
Bei der linearen Congruenz existiren übrigens zwischen den
fünffachen, aus ß und g zusammengesetzten Symbolen allgemeine
Gleichungen von demselben Character, wie die in § 16 für die
Flächen zweiten Grades aufgestellten allgemeinen Gleichungen zwischen
den aus g, v, g zusammengesetzten Bedingungen. Um solche
Gleichungen abzuleiten, entnehmen wir dem § 15 die Formel 33:
Böpe -\-EBg-{-4.ags = G-l-g,h-l- gj>hp-\-ge h + gh + H,
und multipliciren dieselbe mit der Gleichung 2 dieses Paragra,phen:
g-l-h-ß = a.
Dann kommt:
B6pe{2.g-ß)-^2.aBg^-aBß-^8.aG-4.eßge
^as-l-Ga-^Ga-^Ga + Ga-^-Ga
oder
a6pe{2.g-ß) = aBß-2.aBg^-V4.aßge-2.EG.
Nun ist wegen der Gleichungen 6 und 7:
B6pe = ^E0ß'^-^.s