'1t 1^9 - JScholarship

Die Charakteristikentheorie. 295
2' einstufig imd 2 vierstufig ist, die Formel 5 auf folgende
Weise:
^ -P^9-9' +P^ {9p -9e- 2p') .p'
-P'9e-9' + {p'9p~P%).p'
=P'9e.9' + G.p'.
Die Formel 6 gewinnt man zum zweiten Male, indem man zuerst hat:
^=P^ -g'p ~p' .9'e +p'9 .p'g' +p{gp-ge- 2f) .p'\
und daraus durch die Incidenzformeln findet:
x=p^.g'p-pKg'e+p\g'e+p^.p'^ + pge.g'e+pge.p'''
+ 5s -y^ +P^-P^'^--P9e .p'^ — 2p^.p'''
=p^ -g'p +P9e • g'e+9s -j)".
Von den zahlreichen Anwendungen, welche die erhaltenen
Charakteristikenformeln bei Anzahlproblemen finden können, sollen
folgende hier angeführt werden.
1. Formel 19 spricht einen Satz aus, von welchem der bekannte,
von uns schon in den §§ 4 u. 14 (p. 14 u. 51) bewiesene Satz über die Zahl
X der Curven eines Systems, die dne gegebene Curve berühren, ein specieller
Fall ist. Bezeichnet man nämlich bei der gegebenen Curve
jede Tangente mit g' und ihren Berührungspunlit mit p', femer bei
dem gegebenen Curvensystem jede Tangente mit g und ihren Berührungspunkt
mit p, so erhält man bei der Curve ein einstufiges
System von Gebilden F mit dem Strahle g' und dem Punkte p',
bei dem Curvensystem ein zweistufiges System von Gebilden F mit
dem Strahle g und dem Punkte p. Wendet man dann Formel 19
an, so ist p' die Ordnung m der Curve, g' der Rang « der Curve,
ge die Zahl v der eine gegebene Gerade berührenden Curven des
Systems, p^ die Zahl g der.durch einen gegebenen Punkt gehenden
Curven des Systems; also ist:
x = m.v + n.g.
H. Gerade so kann man aber mit Hilfe der obigen Charakteristikenformeln
zu allen Anzahlen gelangen, welche sich auf das
Gemeinsamhaben von Tangente und Berührungspunkt beziehen.
Fasst man z. B. auf einer Fläche F von der Ordnung n und dem
Range r jede Tangente g mit ihrem Berührungspunkte p zusammen
und ebenso auf einer zweiten Fläche F' von der Ordnung «' und
dem Range / jede Tangente g' mit ihrem Berührungspunkte p', so
erhält man zwei dreistufige Systeme von Gebilden F. Wendet man
auf diese Systeme die Formeln ll und 12 an, so hat man alle