'1t 1^9 - JScholarship

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Vierter Abschnitt.
Tangenten die zehnte 1562-deutig bestimmen, und dass die zehn zuletztgenannten
Tangenten die zuerstgenannte Tangente 3280-deutig bestimmm.
Legt man an dne purdcl-allgemeine Curve vierter Ordnimg C/
van einem beliebigen Punkte ihrer Ebene aus die zwölf Tangenten, so
sind diese zwölf Strahlen, damit sie überhaupt so dner Cf^ angehören
können, derartig von einander abhängig, dass elf von ihnen die zwölfte
45M40-deutig bestvnwnen*.
Das Symbol jeder der oben beschriebenen acht Ausartungen
bezeichne zugleich die einfache Bedingung, welche eine (7/ dadurch
erfüllt, dass sie in der angegebenen Weise ausartet. Dadurch entstehen
acht Ausartungsbedingungen. Zwischen diesen und den Bedingungen
1/ und p lassen sich viele Gleichungen aufstellen, aus
denen Herr Zeuthen mit Bestätigungen die folgenden beiden
Formeln erhält:
6.a/--p = 2.| + 3.i? + 4.g + 3.>« + 6./l+12.v + 2.^,
und
27.-i/ = a + 20.| + 32.i2 + 46.S+24.y. + 45.A + 72.v+14.#.
Wir stellen nun für mehrere Sorten von Plancurven vierter
Ordnung die wichtigsten der von Herm Zeuthen berechneten An­
zahlen zusammen.
I. Die Curve hat einen dreifachen Punkt, hat also in fester
Ebene die Constantenzahl 10. Für sie ist^
j/io = 60
v^g = 288
j,s^2=1332
7/'p^ 5496
v''g^= 19128
y-'p-' = 59940
7/^"= 151008
•i/äp' = 301032
,.,2^8 = 464976
,,93 = 560688
pl« =546120
11. Die Curve besitzt drei Doppelpunkte, hat also m fester
Ebene die Constantenzahl 11. Für sie ist:
v" = 620
!/i«p = 2184
v'g^ = 7200
z/Sp''= 21776
v''g^= 59424
v«p'''= 143040
a/fp«= 295544
v-i 9'= 505320
//•'p»= 699216
,,Sp9_ 783584
vp>»= 728160
pii =581904
III. Die Curve besitzt zwei Doppelpunkte, hat also m fester
Ebene die Constantenzahl 12. Es bezeichne b jeden der beiden
i:)oi)pelpunkte, also b auch die Bedingimg, dass eiuer von ihnen
auf einer in der festen Ebene gegebenen Geraden liege, b^ die Bedingung,
dass ein Doppelpunkt gegeben ist.
' Dio algebraische Uerloitung dieser (.ivadzahl einer gewissen Oleichung
wii'd ihu-ch die gogcnwrirliige l'roisiiuiga.bo der königl. dünischeu Akademie
verlangt.