'1t 1^9 - JScholarship

Die mehrfachen Coincidenzen. 235
dargestellt. Diese fünf Stammzahlen aber können leicht aus der
Definition der Fläche ^^*'"^ Ordnung gewonnen werden.
1. Das Symbol G bedeutet, wenn es sich um i Schnittpunkte
handelt, die Zahl der Variationen i"^'' Klasse ohne Wiederholung,
gebildet aus den n Schnittpunkten einer gegebenen Geraden mit der
Fläche, ist also gleich n{n —l){n — 2)...{n — i+ 1).
2. Um Pi^p2^ zu bestimmen, verbinden wir jeden der n Schnittpunkte
auf der Geraden der Bedingung pf^ mit jedem der n Schnittpunkte
auf der Geraden der Bedingung P2^- Es entstehen n^ Verbindungslinien;
also ist bei zwei Punkten p-^ p^ gleich n% bei
drei Punkten gleich r^ {n — 2), bei i Punkten gleich n^ {n — 2)
{n-5)...{n-i+l).
3. Um gePtPi zu bestimmen, SQche.n wir auf der Ebene von
ge die n Schnittpunkte mit der Ebene von p^ und die n Schnittpunkte
mit der Ebene von P2, verbinden jeden Schnittpunkt aus
der einen Gruppe mit jedem aus der anderen Gruppe. Dadurch
erhalten wir, dass gePiPi bei zwei Punkten gleich n^, bei i Punkten
gleich n^{n — 2){n—5)...{n — i+ 1) zu setzen ist.
4. Um Pi^PsPs zu bestimmen, suchen wir zunächst die n Schnittpunkte
der Fläche mit der Geraden der Bedingung p.^^- Wir haben
dann noch zu berechnen, vrieviel von jedem dieser Punkte ausgehende
Gerade einen Schnittpunkt auf der Ebene von P2 einen
änderen Schnittpunkt auf der Ebene von _pg haben, d. h. wieviel
Gerade die Bedingung gpP2Ps erfüllen. Für dieses Symbol können
wir nach den Incidenzformeln setzen gsPa+P2^PB'=G+p^^g+P2^Ps.
Nun sind p^^g -aiidp2^Ps gleich null, G = n{n—1); also ist Px^P2P3
gleich n^{n—l), also bei ^Punkten gleich n^{n— 1) {n—5)...{n—i+l).
5. Um P1P2P3P4, zu bestimmen, berechnen wir zunächst gPiP^Pi-
Dieses Symbol ist gleich gePBPi+P2^PBPi, ^-l^o mit Benutzung von
3 und 4 gleich n^ {n — 2) + n^ {n — 1) =n^ {2n — 5). Nun aber bedeutet
gpiPzPi den Grad der Linienfläche, welcher von allen Geraden
gebildet wird, die auf den drei gegebenen Ebenen der drei
Bedingungen j9g, p^, p^ drei verschiedene Schnittpunkte haben. Diese
Lüdenfläche hat demnach mit der Fläche Fn nach den Bezout'schen
Sätzen (§ 13) oo^ Punkte gemein, von denen in einer gegebenen
Ebene ^^(2^ —3) liegen. Unter diesen Punkten fallen nach 4
n^{n—l) zugleich auf die Ebene \onP2, n^{n—l) zugleich auf die
Ebene von p^ und n^ {n — 1) zugleich auf die Ebene von p^. Die
Zahl der übrigen ist der Werth des gesuchten Symbols PiäBä;
also ist bei vier Punkten: