'1t 1^9 - JScholarship

Die mehrfachen Coinoidenzen. 245
Es ist vielleicht interessant, dieses Resultat auf eine zweite
Weise zu finden, indem man statt des Kegelschnittes seine andere
Ausartung wählt. Bei dieser bilden die Punkte zwei zusammenfällende
Gerade. Die gestellte Forderung, dass jede der beiden
Haupttangenten den Kegelschnitt, schneiden soll, wird also erfüllt
erstens von den parabolischen Haupttangenten, welche die Doppelgerade
schneiden, zweitens viermal von den Haupttangenten, welche
in einer durch die Doppelgerade gehenden Tangentialebene liegen,
drittens von den Haupttangenten, welche in den n Schnittpunkten
der Doppelgeraden mit der Fn berühren; also ist die gesuchte Zahl
der Krdspunkte auch gleich
2n{n-2){5n-4) + 4.n{n-iy + 2.n = 2n{5n^-14n+ll).
In der Salmon-Fiedler'schen Raumgeometrie (2. Aufl., pag. 43
bis 46) ist diese Zahl um die Zahl der in einer Ebene liegenden
Haupttangenten zu gross angegeben. Das richtige Resultat gab zuerst
Voss in den Math. Ann. Bd. IX pag. 241 (Lit. 44). Aehnlich
kaim man auch die metrischen Probleme lösen, in denen nach Ordnung
und Klasse der Krümmungsmittelpunktsfläche (Lit. 45) oder
nach Feldrang und Bündelrang der von den Krümmungslinientangenten
gebildeten Congmenz gefragt wird (Lit. 46).
29. Um die Zahl derjenigen Punkte der Fläche n*'^ Ordnung zu
lestimmen, in denen die beiden Haupttangenten vierpunktig berühren,
ohne zusammenzufallen, betrachten wir das Punktepaar, welches
durch einen Punkt der Curve vierpunktiger Berührung und einen
derjenigen n — 5 einfachen Schnittpunkte erzeugt wird, die auf der
in jenem Punkte nur dreipunktig berührenden Haupttangente liegen.
Auf das von solchen Punktepaaren gebildete einstufige System wenden
wir die Coincidenzformel erster Dimension für Punktepaare an
(§ 13, Formel 1). Dann erhalten wir für das Symbol p dieser
Formel aJt^.{n — S), für g den schon in Nr. 26 berechneten Werth
(3w —4).£4&4—£4^ multiplicirt mit n — 5. Um das Symbol q der
Formel zu berechnen, wenden wir dasselbe Mittel an, welches uns
oben (p.239) zu den b^ enthaltenden Symbolen führte. Dann bekommen
wir für q den Werth n. [{5n - 4). aj)^ - a^g] - 5 . £464; also ist der
Werth des Coincidenzsymbols jener angewandten Formel gleich
oder
[£454.{n-3)] + in.{5n-4).Ej)^-n. B^g-5.aj)^
- [(3 w - 4). £4^4. {n - 3) - B^g. {n - 3)]
£4&4.(10w-18)-3.£45'.