'1t 1^9 - JScholarship

Die Symbolik der Bedingungen. 13
Kegelschnitt tritt, dessen Punkte zwei Gerade und dessen Tangenten
zwei Strahlbüsehel bilden, deren Scheitel in den Schnitt dieser
beiden Geraden fällt (cf. die Ausartungen der Gebilde in Abschnitt IV).
IV. Eine Aüzahl wird bei einer gewissen Lage der gegebenen
Gebilde nothwendig unendlich, wemi für sie ein Werth grösser als
N constatirt ist, während bei einer anderen Lage sich ein Werth
ergiebt, der genau gleich N ist.
Um den Inhalt des Princips von der Erhaltung der Anzahl
klarzulegen, fühie ich die folgenden, sehr einfachen Beispiele und
Anwendungen an.
Beispiele.
1. Dem Strahle g sei die vierfache Bedingung g^ auferlegt,
dass er 4 gegebene Gerade schneiden soll. Es fragt sich, wieviel
Strahlen die gestellte Bedingung erfüllen. Mit Rücksicht auf den
Satz n specialisiren wir die Lage der 4 gegebenen Geraden so,
dass die erste und die zweite, sowie He dritte und die vierte Gerade
sich schneiden. Dann erfüllen die gestellte Bedingung 2 Strahlen,
nämlich:
a) der Verbindungsstrahl der beiden Schnittpunkte,
b) der Strahl, in welchem sich die beiden Schnittebenen
schneiden.
Folglich giebt es nach unserem Princip immer 2 Strahlen, welche
4 gegebene Gerade schneiden, oder aber unendlich viele, wozu eine
noch speciellere Lage der 4 gegebenen Geraden erforderlich wäre,
,etwa die, bei welcher 3 von den Geraden einen gemeinsamen Schnittpunkt
hätten.
2. Weiss man, dass es in einem Büschel von Flächen zweiten
Grades 3 Paraboloide, d. h. 3 Flächen giebt, welche die unendlich
ferne Ebene berühren, so weiss man, wegen der Form I des Princips,_
auch, dass es in dem Büschel 3 Flächen giebt, welche eine beliebig
gegebene Ebene berühren.
3. Weiss man, dass eine gewisse Gerade mit einer Fläche nicht
mehr und nicht weniger als w Punkte gemein hat und dass eine
zweite Gerade mindestens n-\-l Punkte mit der Fläche gemein hat,
so muss sie nach Satz IV unendlich viele Punkte mit der Fläche
gemein haben.
4. Um die Fruchtbarkeit des Princips auch in der unter Nr. HI
genannten Richtung zu zeigen, bestimmen wir vermöge des Princips
die Zahl x derjenigen Curven eines in fester Ebene liegenden
Systems 2J von Plancurven, welche eine gegebene, in derselben