'1t 1^9 - JScholarship

Die Coincidenzformeln. 59
soll, dass das Strahlenpaar seine beiden Strahlen eine gegebene
Gerade schneiden lässt, und wenden auf die lineare Congruenz, welche
von den g und h schneidenden Strahlen gebildet wird, die Formel
13 des § 12 an. Dann kommt, da dann b und b' beide gleich 1
zu setzen sind,
7) B = ßg-g'
imd
8) B = ßh-h\
Nun legen wir die Ebene des Strahlbüschels einer Bedingung ß mit
der Ebene des Strahlbüschels einer Bedingung ß zusammen. Dann
wird die Bedingning j3^ erstens durch jedes Strahlenpaar erfüllt,
dessen beide Strahlen die Verbiudungsgerade der Scheitel der beiden
Strahlbüschel schneiden, zweitens durch jedes Strahlenpaar, welches
seinen Strahl g oder seinen Strahl h in der gemeinsamen Ebene der
beiden Strahlbüschel hat, drittens durch jedes Strahlenpaar, dessen
Strahlen sich schneiden und dabei ihren Schnittpunkt auf jener gemeinsamen
Ebene besitzen. Also ist nach dem Princip von der
Erhaltung der Anzahl:
9) ß^=^B + ge + he + 0p.
Dieser Gleichung entspricht dual:
10) ß^^'B+gp + hp-^ße
Addirt man 9 und 10 und wendet dann 7, 8 und 2 an, so bekommt
man die mit ß multiplicirte Gleichung 6, also eine Controle.
Um weitere Formeln für das Strahlenpaar zu gewinnen, hat
man die bisher aufgestellten Gleichungen auf alle mögliche Weise
mit den eingeführten Bedingungen symbolisch zu multipliciren.
Dabei hat man darauf zu achten, dass nur die symbolische Multiplication
zweier von einander unabhängiger invarianter Bedingungen
Sinn hat, dass man also wohl 0 mit £, nicht aber 0 mit 0 oder £
mit £ multipliciren darf. Die aufgestellten Gleichungen gestatten
es, jedes 0, e oder e0 enthaltende Symbol durch die aus ß, g, h
zusammengesetzten Bedingungen auszudrücken. Wir thun dies
jedoch nur für die zweifachen auf 0 und s bezüglichen Bedingungen,
weil wir sonst gar zuviel Gleichungen erhalten würden.
Formel 9 und 10 geben nach Benutzung von 7 und 8:
11) 0p = ß'-ßg-l-gp-he^ß'-ßh-^hp-ge,
12) 0e=ß^-ßg + ge-hp = ß^-ßh + he-gp,
woraus noch folgt:
13) 0p — 0e=gp + hp—ge — he.
Aus 6 folgt;