'1t 1^9 - JScholarship

Dies heisst in Worten:
Fünfter Abschnitt. Die mehrfachen Coincidenzen. 229
Jeder Strahlbüsehel des Eaumes bedtzt n(n—l) Strahlen, von denen
jeder zwd zusammenfallende Punkte der F„ enthält.
Setzen wir also, wie dies auch im Folgenden immer geschehen
soll, die Fn pimkt-allgemdn, d. h. ohne Doppelcurve etc. voraus,
so können wir das erhaltene Resultat auch so aussprechen:
Jeder Strahlbüsehel des Eaumes besitzt n(n — l) Tangenten dner
F„ oder, was dasselbe ist, die Tangenten dner F-a bilden einen Complex
vom Grade n(n — l).
Natürlich konnten wir oben statt p^ und p^ irgend welche zwei
verschiedene von den n Symbolen p schreiben. Es steht nun aber
auch nichts im Wege, die Bedingung, dass p^^ und p^ coincidiren,
mit denjenigen Bedingungen zusammenzusetzen, welche aussprechen,
dass Pg und p^ oder p^ und p^ coincidiren und so fort. Man gelangt
so zu allen möglichen Anzahlen, welche sich auf mehrfache und
mehrpunktige Berührung einer Fläche durch eine Gerade beziehen;
z. B. erhält man für die zweifache Bedingung, dass ausser p^ und
p^ auch noch zwei andere Puiikte, etwa p^ und j)^ coincidiren sollen,
bei Anwendung derselben Coincidenzformel:
wobei nur zu beachten ist, dass man b^ nicht durch p^ oder p^
sondem durch irgend welche zwei andere Symbole p auszudrücken
hat. Man erhält also für die Bedingung, dass eine Gerade mit
einer Fläche an zwei verschiedenen Stellen zwei zusammenfallende
Schnittpunkte hat:
{Pi+P2-9)(P3+Pi-9)-
Eine solche Gerade nennt man eine Doppeltangente. Da nun iu
jedmi der beiden Berührungspunkte die Coineidenz von p^ und ft
• resp. j^g und p^ gedacht werden kann, so erhalten vrir, wenn wir
die Bedingung, dass eine Gerade Doppeltangente einer Fn ist, mit
£99 bezeichnen:
'^ 2.E^^ = {p^+P^-g){Pi+Pi-9)
oder
2 • «22 =ÄP8 + PlPi+i'2i'8 + P2f4. - 9Pi - 9P2 - 9Pi - 9Pi + 9e + 9p •
Von den zehn Symbolen der rechten Seiten bedeuten dann die
vier ersten ganz dasselbe, nämlich dass eine Gerade g mit einer
Fn zwei auf gegebenen Ebenen liegende verschiedene Schnittpunkte
habe. Ebenso bedeuten die vier folgenden Symbole ganz dasselbe,
nämlich dass eine Gerade g eine gegebene Gerade schneide und
dabei einen Schnittpunkt mit der Fn auf der gegebenen Ebene