'1t 1^9 - JScholarship

Die Incidenzformeln. 33
Jede von den eben durch symbolisches Eechnen gewonnenen
Formeln kann natürlich auch geometrisch abgeleitet werden. Freilich
ist dieser Weg meist viel umständlicher. Beispielsweise geben
wir eine geometrische Herleitung der Incidenzformel VH.
Das Gebilde, welches aus einer Ebene e und einem darin befindlichen
Punkte p besteht, hat die dreifachen Grundbedingungen
P^, P^e, pe^, e'
Zu diesen fugen wir die dreifache Bedingung pe*, welche aussprechen
soll, dass die Ebene e durch eine gegebene Gerade geht, auf
welcher zugldch der Punkt p liegt. Dann betrachten wir die Bedingimg
p^e und legen den gegebenen Punkt der Bedingung e in
die gegebene Gerade der Bedingung p^. Dann erfüllt die Bedingung
p^e erstens jedes Gebilde, welches seinen Punkt p in dem
gegebenen. Punkte besitzt, welches also eine Bedingung p^ erfüllt,
zweitens aber auch jedes Gebilde, welches seine Ebene e durch die
gegebene Gerade schickt und zugleich seinen Punkt p auf ebendie­
selbe Gerade wirft, welches also eine Bedingung pe erfüllt. Man
hat also:
XHI) p^e=p^-\-pe.
Folglich gilt auch die dual entsprechende Formel:
XTV) pe^^e^ + 'pe
Aus beiden Formeln resultirt die gesuchte Formel VH durch Elimi­
nation von pe.
Man kann das Gebilde, welches aus der Ebene e und dem
darin befindlichen Punkte p besteht, als einen Strahlbüschel betrachten,
dessen Scheitel p und dessen Ebene e heisst. Dann be­
deutet das neu eingeführte Symbol pe die Bedingung, dass der Strahlbüsehel
dnen gegebenen Strahl enthalte.
§ 11-
Beispiele zu den Incidenzfoi*meln IV bis XIV.
Beispiele zu den Incidenzformeln IV bis VI kann man durch
duale Uebertragung der in §§ 7 und 8 betrachteten Beispiele erhalten.
Zur Einübung der übrigen Incidenzformeln mögen folgende
Beispiele dienen.
* Dieses Symbol für die oben angegebene Bedingung behalten wir in
allen folgenden Abschnitten ebenso bei, wie die in § 2 definirten Bedingungssymbole
(Lit. 12).
Schubert, Kalkül der abzäUendeD Geometrie. 3