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Die Berechnung von Anzahlen durch Ausartungen. 93
Durch diese Formeln gewinnt man alle Zahlen g^v'^Q'', wo
n-\-r=5 ist, aus die.sen dann alle Zahlen g^v'^Q'', wo n-{-r = 6 ist,
aus diesen dann alle Zahlen gv'^Q'', wo n-Yr=l ist, und endlich
aus diesen dann alle Zahlen v^p"", wo n-\-r = 9, ist, sobald man
nur alle Zahlen kennt, deren achtfache Bedingung d oder rj als
Faktor enthält, und ausserdem eine siebenfache, aus g,v,Q zusammengesetzte
Bedingung. Die letzgenannten Zahlen aber bestimmen
sich aus den auf Hauptelemente bezüglichen axiomatischen Anzahlen
(§§ 6 und 19) ohne Weiteres. Dabei hat man Folgendes zu beachten:
„ Wenn die Doppelgerade dnes Kegelschnitts r] eine gegebene Gerade
schneidet, so stellt rj zwd Kegelschnitte vor, welche die Bedingung v erfüllen,
dass ein Kegelschnitt mit dner gegebenen Geraden einen Punkt
gemdn habe, ivdl dann die gegebene Gerade mit ij zwd coinddirende
Punkte gemdn hat. Baraus folgt, dass die Kegelschnittbedingung
Tjv^ ä"-mal so gross ist, wie die Bedingung, dass der Kegelschnitt in
ein 7] ausarten soll, dessen Doppelgerade n gegebene Gerade schneidet.
Analog ist die Bedingung öq'' 3''-mal so gross, wie die Bedingung,
dass der Kegelschnitt in dn S cnisarten soll, dessen Doppelscheitel auf
r gegebenen Ebenen liegt." *
Um die Art der Berechnung der Ausartungsanzahlen zu zeigen,
schicken wir folgende Beispiele voran.
Um Tjgv^Q^ zu berechnen, beachten wir, dass die vier gegebenen
Ebenen der Bedingung q^ zur Feststellung der beiden Scheitel auf
Tj (cf. die obige Beschreibung von vf) verwendet werden müssen und
auf zweierlei Weise vertheilt werden können, erstens so, dass drei
Ebenen den einen Scheitel feststellen und die vierte Ebene durch
den anderen Seheitel geht; zweitens auch so, dass zwei Ebenen den
einen Scheitel und die beiden anderen Ebenen den anderen Scheitel
enthalten. Die Vertheilung der vier Ebenen zu dreien und einer ist
aber auf 4g** Arten möglich, die Vertheilung zu je zweien auf
^.4^ Arten. Im ersten Falle ist der Scheitel, welcher auf drei der
gegebenen Ebenen liegen soll, eindeutig bestimmt und deshalb
auch die Doppelgerade, welche ihn enthalten und die beiden gegebenen
Geraden der Bedingung v^ schneiden muss. Den zweiten
Scheitel erhält man dann als Schnittpunkt der Doppelgeraden mit
* Genaueres über die Vielfachheit der .Ausartungen ist in § 21 abgeleitet.
** Hier imd an vielen anderen Stellen bedeutet wie üblich np (gelesen
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