'1t 1^9 - JScholarship

Die Berechnung der Anzahlen durch Ausartungen. m
26) die ff-Formel 2 .ff = v-|-p —3.ft —«,(,
27) die c-Formel 3.c = 4.v — p — 6.ft — a^.,
28) die w-Formel 3.«ü = 4.p — v — «,„,
29) die «-Formel Q .v = l .g — v— d .g —a,,,
30) die g-Formel 6.^=7.^ — p — 9.ft — «,,
31) die 2/-Formel '^.y = 2.g-\-v— Z .g —Ky,
32) die ^-Formel 3 .5 = 2.v-f p-3 .jt-«,,
worin
«(T, «C, «ÜJ, «c, «5, «?/, CCz
gewisse Functionen der Zahlen a^, k^,...«25 bedeuten.
Jede dieser Zahlen « ist. eine Summe von Anzahlen, von denen
jede angiebt, wieviel Ausartungen von gewisser Definition in dem
gegebeneu einstufigen Systeme vorhanden sind. Derartiger Definitionen
giebt es nun im ganzen zwölf verschiedene, mit anderen
Worten, die C^ hat ausser ff noch zwölf andere Ausartungen, wenn
man Systeme voraussetzt, deren definirende Bedingung ausser g,
V, g auch Bedingungen enthält, die über die siugulären Punkte und
Tangenten etwas aussagen. Die genaue Beschreibung dieser zwölf
Aiisajtungen erhält man, analog wie beim Kegelschnitt in § 20,
sehr leicht aus der allgemeinen C^ durch homographische Abbildung,
mdem man das Doppelverhältniss gleich null setzt, dem Oentrum. S
der Homographie alle möglichen Lagen zu der allgememen Cf ertheilt
und die erhaltenen Ausartungen dual umformt (Lit. 24).
1. Wenn S nicht auf der Cf und auch nicht auf w oder q oder
z liegt, so erhält man die Ausartung a^, welche aus einer in der'
Ebene g befindlichen dreifachen Ordnungsgeraden b und drei auf b
gelegenen einfachen Rangpunkten d besteht. Die drei Strahlen w,
q, z fallen mit, b zusammen, während c, v, y drei auf b liegende,
unter sich und von den Rangpunkten verschiedene Punkte sind.
2. Wenn S auf w liegt, ohne v oder y zu sein, so erhält man
die Ausartung %. tj^ besteht aus einer in der Ebene g befindlichen
dreifachen Ordnungsgeraden b, welche mit q und Z zusammenfällt.
Auf dieser liegen ein einfacher Rangpunkt d, ferner die Spitze c
und endlich ein zweifacher Rangpunkt e, welcher mit v und y zusammenfällt
und von welchem die Wendetangente w ausgeht.
3. Wenn S auf q liegt, ohne c oder y zu sein, so entsteht die
Ausartung %. «i besteht aus einer in der Ebene g befindlichen
dreifachen Ordnungsgeraden b, mit welcher w und z zusammenfallen.
Auf b liegen zwei einfache Rangpunkte d, ein einfacher
Rangpunkt, in den auch c und y fällt, und ausserdem der Wende-