'1t 1^9 - JScholarship

Die Coincidenzformeln. 53
durch einen gegebenen .Pimkt gehen, v eine gegebene Gerade berühren,
Q eine gegebene Ebene berühren. Dann fassen wir in jedem
Schnittpuiikt von F und einer Fläche des Systems E die F angehörige
Tangentialebene e und die E angehörige Tangentialebene /'
als Ebenenpaar zusammen. So erhalten wir ein zweistufiges System
von Ebenenpaaren, auf welches wir die Formel
e'4-e/'4-f-Ä.==£A + £e
aus § 14 anwenden wollen. Durch die Gerade der Bedingung e^
legen wir an F die k Tangentialebenen und durch jeden der erhaltenen
k Berührungspunkte B die g, E angehörigen Flächen, dann
bestimmen wir zu jeder dieser fi Flächen die in fi berührende Tangentialebene.
Dann sehen wir, dass die Bedingung e^ von k.g,
Ebenenpaaren erfüllt wird. Um ef zu bestimmen, legen wir durch
den Punkt der Bedingung e die oo^ Tangentialebenen. Ihre Berührungspunkte
bilden auf F eine Curve, welche nach den Incidenzformeln
den Grad r hat. Ferner legen wir durch den Punkt der
Bedingung /' an die oo^ Flächen von E die oo^ Tangentialebenen;
deren Berührungspunkte bilden nach den Incidenzformeln eine Fläche
vom Grade )i-\-v. Diese Fläche schneidet nach den Bezout'schen
Sätzen die oben construirte Curve r* Grades in {g,-\-v).r Punkten;
also ist ef gleich (ft -f v). r zu setzen. Um f^ zu bestimmen,
legen wir dm'ch die Gerade der Bedingung f^ die co^ Tangentialebenen
an die co^ Flächen von E. Ihre Berührungspunkte bilden
nach den Incidenzformeln eine Curve vom Grade v -f q. Diese
Curve schneidet nach den Bezout'schen Formeln die Fläche F w*
Grades in iy-\-Q).m Punkten; also giebt es (v-|-()).m Ebenenpaare,
welche die Bedingung f^ erfüllen. Um he zu bestimmen,
beachten wir, dass die Ebene der Bedingung he die Fläche F in
einer Curve und E in einem Curvensystem schneidet, und dass
diese Curve, wie oben gezeigt ist,
fi.r-j-V .m
Tangenten besitzt, welche in ihrem Berührungspunkte von Curven
des Systems berührt werden. Legt man durch jede dieser Tangenten
sowohl die Tangentialebene zu F, wie zu der Fläche des
Systems, so erhält man immer ein die Bedingung h^ erfüllendes
Ebenenpaar. Endlich wissen vrir, dass die Coincidenzbedingung ae
gleich null zu setzen ist, weil nicht co^ Berührungen stattfinden
können. Das Symbol sh aber ist die Zahl x derjenigen Flächen
des Systems, welche F berühren. Der Faktor h in sh rechtfertigt
sich dadurch, dass als Schnittstrahl der beiden coincidirenden Ebenen