'1t 1^9 - JScholarship

Die Incidenzformeln. 29
2. Wenn drei Punkte a, b, c auf einem und demselben Strahle
g liegen, so besteht zwischen den Grundbedingungen von a, b, c
eine Gleichung dritter Dimension, welche die Grundbedingungen des
Trägers g nicht mehr enthält. Man findet diese Gleichung, indem
man aus den drei durch Formel I gelieferten Gleichungen
ag = a^-\-ge,
bg=.b^-\-ge,
cg=c^-\-9e,
g und ge eliminirt, dabei jedoch nur addirt, subtrahirt oder multiplicirt,
aber nicht dividirt (cf. § 5). Wir multipliciren also die
erste Gleichung mit b — c, die zweite mit c — a, die dritte mit a—b
und addiren die erhaltenen Gleichungen. Dann ergiebt sich:
0 = aS(&_c)-f i&^(c-a)H-c^(a-6),
wofür man auch schreiben kann:
{a-b){b-c){c-a) = 0.
Es war vorauszusehen, dass die gesuchte Gleichung für a = b,
für & = c und für c = a erfüllt werden muss, weil 3 Punkte immer
in gerader Linie liegen, sobald zwei derselben identisch sind.
3. Wir betrachten das Gebilde, welches aus zwei sich in p
schneidenden Strahlen g und h besteht. Diesem Gebilde, welches
die Constantenzahl 7 hat, legen wir die sechsfache Bedingung «/j i^s
auf und wenden die Formeln H und IH an. Dann kommt nacheinander:
9^ h = (jpgp -P^) {php -p^)
=f9php = {G -\-p^ge) hp
= Ghp -\-fge hp = Ghp + ge \II-\-p^h)
= Ghp-irRge,
ein leicht in Worten ausdrückbares Resultat, das wir sofort weiter
verwerthen wollen.
4. Wir betrachten das räumliche n-Eck mit den n Seiten
9i, 92, 9s, • ••5'«5
d. h. das Gebilde, welches aus den n Strahlen 9i-, g^,-• -ffn so zusammengesetzt
ist, dass der erste Strahl den zweiten, der zweite
den dritten, der dritte den vierten u. s. w., der letzte wieder den
ersten Strahl sclmeidet. Diesem Gebilde, welches die Constantenzahl
3.W hat, legen wir die 3.w-fache Bedingung
9isg2sg3sgis- • -gns
auf. Die durch diese Bedingung bestimmte Anzahl ergiebt sich bei
Anwendung des oben in 3 gefundenen Resultates ohne Weiteres.