Boude bewoordingen

pen. Anders gezegd, wij zien de dingen in perspectief. De euclidische meetkunde
houdt ons voor dat twee parallelle lijnen elkaar nooit kruisen, maar
in werkelijkheid zien we met eigen ogen hoe parallelle lijnen elkaar aan de
horizon raken. Eeuwenlang hechtte men meer geloof aan de meetkunde
van Euclides dan aan de eigen waarneming. Woord en getal hadden meer
gezag dan zintuiglijke data. In feite gaat de euclidische meetkunde van een
ideale waarnemer uit, die zich niet op één bepaalde plaats bevindt – een
subject dat er niet is. Wij, de werkelijk bestaande, plaatsgebonden waarnemers,
schieten tekort, zijn deficiënt. Het ligt aan ons dat wij de dingen anders
zien dan volgens Euclides zou moeten. Alleen de ideale waarnemer
ziet dat Euclides het bij het rechte eind heeft. Wij kunnen die ideale waarnemer
overigens wel worden, namelijk door hoeken en afstanden te meten.
Wij accepteren dan dat meetinstrumenten, zoals de liniaal, onze waarneming
corrigeren. Wie naar de klok aan de muur of naar de schemerlamp op
het bureau kijkt, ziet geen perfecte cirkel, maar een ellips. Toch ‘weten’
we dat we met cirkels van doen hebben. Wij idealiseren wat we zien. De
euclidische meetkunde beschrijft de wereld die wij meten, niet de wereld
die wij waarnemen. De projectieve meetkunde daarentegen houdt een erkenning
in van het perspectivisme. Als we een cirkel op een schuin vlak
projecteren, ontstaat een ellips. Op de oppervlakte van een bol kan een
driehoek twee rechte hoeken bezitten.
In zijn Stoicheia (‘Elementen’) zet Euclides een streng, bijna perfect, deductief
systeem uiteen dat door slechts één tekortkoming wordt ontsierd,
aldus Van den Berg: de onbewezen stelling dat twee parallelle lijnen elkaar
nooit zullen snijden. De vele pogingen haar alsnog te bewijzen mislukten.
In 1733 verschijnt een boek van de wiskundige Saccheri waarin hij, zoals
de titel aangeeft, Euclides van deze vlek wil vrijwaren – ‘Euclides ab omne
naevo vindicatus’. Hij maakt gebruik van de ‘methodische twijfel’, de deductio
ad absurdum. Hij wil aantonen dat een meetkunde die dit postulaat
niet accepteert, vroeg of laat tot ongerijmdheden voert. Zijn poging
strandt, maar en passant werkt hij een niet-euclidische meetkunde uit.
Een meetkunde die het axioma laat vallen blijkt houdbaar. Anderen gaan
verder op de ingeslagen weg. Gauss stelt voor de afstanden tussen bergtoppen
te meten om te zien of het axioma ook voor dergelijke afstanden
waar is, maar houdt rekening met de mogelijkheid dat zelfs die afstanden
nog te klein zijn, te zeer op menselijke schaal. In 1818 stuurt zijn vriend
Schweickart hem een memorandum van één pagina waarin hij stelt dat in
een buitensporig grote wereld, met afstanden zoals die tussen sterren bestaan,
een andere meetkunde geldt dan de euclidische: een astralische
Großenlehre. Lobatsjewski ontwerpt een aantal jaren later een imaginaire,
niet-euclidische, maar niettemin consistente meetkunde. Door toedoen
van Riemann en Klein wordt de euclidische meetkunde ten slotte tot een
234