220486_Einfuhrung_In_Die_Ho_Here_Mathematik.pdf

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86 I. Teil. Funktionen einer Veränderlichen Das S n e l l i u ssche Brechungsgesetz als Extremalproblem. Das bekannte Brechungsgesetzdas für den Übergang des Lichtes aus einem Medium, in dem die Lichtgeschwindigkeit den Wert c t , in ein zweites, in dem die Lichtgeschwindigkeit den Wert c 2 hat, wobei α und ß den Einfalls- bzw. Brechungswinkel bedeuten und n der Brechungsquotient ist, läßt sich aus einer Extremalforderung ableiten. Von einem Punkt P 1 im Medium mit der Lichtge- • schwindigkeit c 1 soll Licht im nach einem Punkte P 2 Medium mit der Lichtgeschwindigkeit c 2 gelangen. Das kann auf den verschiedensten Wegen geschehen, z. B. auf dem kürzesten Wege, der direkten Verbindungsgeraden P 1 P 2 oder auf irgendeinem geknickten Wege P 1 M P 2 . Man kann nun die Forderung stellen, daß der Weg von P 1 nach P 2 in kürzester Zeit zurückgelegt wird. Die Zeit, die das Licht braucht, um von P 1 nach M zu gelangen, ist Nach dem Lehrsatz des Pythagoras ist wie man an der Fig. 57 direkt ablesen kann. Daher ist Desgleichen ist die Zeit zum Zurücklegen des Weges gleich und die Gesamtzeit ist
13. Extremwert- und Wendepunktsbestimmung 87 Die Gesamtzeit ist also eine Funktion der Lage des Punktes M, die durch die Strecke x bestimmt wird. Soll t ein Minimum werden, so muß Unter Anwendung der erweiterten Kettenregel erhält man Damit t ein Minimum wird, muß gelten Nun ist aber, wie aus der Figur ersichtlich, so daß die Bedingung für das Eintreten eines Minimums oder lautet. Es bedarf dabei keiner weiteren Untersuchung des zweiten Differentialquotienten zur Feststellung, ob es sich wirklich um ein Minimum handelt. Ein Maximum kann nicht vorliegen, da man sich leicht Wege zeichnen kann, für die das Licht unter allen Umständen eine längere Zeit braucht als für den Weg P 1 MP 2 Weitere Beispiele für die Bestimmung von Extremwerten werden uns noch später begegnen. Die kritischen Daten eines van der Waalsschen Gases. Ein interessantes Problem der physikalischen Chemie ist die Ermittelung der kritischen Daten eines realen Gases mit Hilfe der van der
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Einführung in die höhere Mathemat
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GELEITWORT DES HERAUSGEBERS Für di
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Geleitwort des Herausgebers IX Das
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Vorwort des Verfassers XI werter al
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INHALT I.Teil. Funktionen einer Ver
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Inhalt 3. Kapitel. Graphische, nume
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4 I. Teil. Funktionen einer Veränd
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6 1. Teil. Funktionen einer Veränd
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8 I. Teil. Funktionen einer Veränd
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2. Darstellung von Funktionen 11 tr
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2. Darstellung von Funktionen 13 Un
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2. Darstellung von Funktionen 15 te
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2. Darstellung von F u n k t i o n
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2. Darstellung von Funktionen 19 De
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2. KAPITEL Die wichtigsten Funktion
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3. Die Konstante 23 Temperatur. Inf
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3. Die Konstante 25 lauft die Gerad
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4. Die Proportionalität 27 die Me
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6. Die lineare Funktion 29 Eine bes
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im b red , t-System darzustellen. W
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6. Die Parabeln y = x n 33 6. Die P
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Seite 91 und 92: Die Funktion 13. Extremwert- und We
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20. Die negative Exponentialfunktio
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21. Die Funktion y = e x 139 21. Di
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21. Die Funktion 141 Die ganze Kurv
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21. Die Funktion 143 Kubikzentimete
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21. Die Funktion 145 Tabelle 9 Temp
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22. Die Funktionen 149 ist eine Kon
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22. Die Funktionen 153 Wie sieht nu
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22. Die Funktionen 155 Der Ausdruck
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Näherungsverfahren zw Auflösung v
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26. Das Newtonsche Näherungsverfah
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27. Das Iterationsverfahren 175 So
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27. Das Iterationsverfahren 177 Tab
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4. KAPITEL Reihendarstellung von Fu
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28. Der Begriff der Potenzreihe 181
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28. Der Begriff der Potenzreihe 183
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29. Die MacLaurin-Reihe 185 So lass
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30. Die Taylor-Reihe 187 sogenannte
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32. Das Rechnen mit Reihen 189 dies
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32. Das Rechnen mit Reihen 191 Wir
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33. Die binomische Reihe und das Re
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5. KAPITEL Unbestimmte Ausdrücke 3
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34. Der Begriff des unbestimmten Au
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35. Auswertung unbestimmter Ausdrü
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1. KAPITEL Allgemeines über Differ
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36. Etwas über Differentialgleichu
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36. Etwas über Differentialgleichu
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37. Das unbestimmte Integral 217 su
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37. Bas unbestimmte Integral 219 Ma
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37. Das unbestimmte Integral 221 un
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38. Bestimmtes Integral und sein Zu
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2. KAPITEL Integrationsmethoden Beg
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39. Grundintegrale 241 Es sei zu in
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39. Grundintegrale 243 Zur Durchfü
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39. Grundintegrale 245 portional de
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39. Grundintegrale 247 Damit erhalt
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40. Die Substitutionsmethode 249 Al
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also mathematisch ausgedrückt, ist
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4L Partielle Integration 257 Das zw
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41. Partielle Integration 259 Die B
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41. Partielle Integration 261 Die L
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4L Partielle Integration 263 Mit di
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42. Integration durch Partialbruchz
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43. Näherungsweise Auswertung von
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3. KAPITEL Graphische, numerische u
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44. Mechanische Methoden zur Auswer
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44. Mechanische Methoden zur Auswer
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45. Numerische Näherungsmethoden z
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46. Ermittelung der Stammfunktion u
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46. Ermittelung der Stammfunktion u
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47. Ermittelung der Stammfunktion d
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47. Ermittelung der Stammfunktion d
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1. KAPITEL Darstellung von Funktion
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48. Analytische und tabellarische D
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49. Geometrische Darstellung usw. 3
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50. Darstellung durch eine Netztafe
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51. Darstellung durch eine Fluchtli
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51., Darstellung durch eine Fluchtl
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öl. Darstellung durch eine Fluchtl
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2. KAPITEL Differentiation 62. Part
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52. Partielle Differentiation und d
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52. Partielle Differentiation and d
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53. Höhere partielle Differentialq
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63. Höhere partielle Differentialq
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54. Ermittelung von Extremwerten 34
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55. Ausgleichsrechnung nach der Met
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3. KAPITEL Integration 56. Das voll
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56. Das vollständige und das unvol
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56. Das vollständige und das unvol
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Anhang 381 Ermittle den Wert des be
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