220486_Einfuhrung_In_Die_Ho_Here_Mathematik.pdf

168 I. Teil. Funktionen einer Veränderlichen
Verfahren, von denen eines eine Anwendung der Differentialrechnung
darstellt, wollen wir nun kennenlernen. Wir knüpfen
auch hier an ein naturwissenschaftliches Problem an.
Wenn zwei Atome oder Ionen im gebundenen Zustand als
Molekel eine stabilere Konfiguration bilden als im isolierten Zustand,
so kann das nur der Fall sein, wenn zwischen den beiden
Partikeln Kräfte wirksam sind, die
Fig. 101. Graphische Darstellung
der Potentialfunktioin einer Molekel
einer Trennung entgegenwirken.
Bringt man zwei entgegengesetzt
geladene Ionen zusammen, so ziehen
sie sich gegenseitig an und
streben aufeinander zu. Wenn nur
die Anziehungskräfte vorhanden
wären, müßte schließlich ein Zusammenstoß
der beiden Ionen erfolgen.
Das ist jedoch nicht der
Fall, weil außerdem auch noch abstoßende
Kräfte wirksam sind, die
sich besonders stark bei kleinen
Abständen bemerkbar machen. So
gibt es eine gewisse Entfernung,
bei welcher Anziehung und Abstoßung
sich ausgleichen, und gerade
in diesem Abstände befinden
sich die beiden Ionen in der Molekel. Um diesen Abstand können sie
dann kleine Schwingungen ausführen. Man pflegt nun gewöhnlich
nicht mit den Kräften zu rechnen, sondern betrachtet die potentielle
Energie, die das System besitzt, wobei man als Nullniveau die
Energie der nichtgebundenen Bestandteile willkürlich wählt. Zeichnet
man sich in einem Koordinatensystem den Verlauf der potentiellen
Energie E als Funktion des Atom- oder lonenabstandes r auf, so
erhält man stets das in Fig. 101 qualitativ dargestellte Kurvenbild.
Die Potentialkurve besitzt ein Minimum, dessen Abszisse r 0 den
stabilen Abstand der Atome oder Ionen in der Molekel wiedergibt.
Die Ordinate E 0 bedeutet diejenige Arbeit, die man aufwenden
muß, um die Molekel in ihre Bestandteile zu zerlegen.
Es ist natürlich von Interesse, den Abstand berechnen zu
können. Wenn der Verlauf der Funktion analytisch