220486_Einfuhrung_In_Die_Ho_Here_Mathematik.pdf

178 I. Teil. Funktionen einer Veränderlichen
Das Verfahren konvergierte in unserem Beispiel nicht so rasch
wie das Newtonsche, war aber, was die Rechnung anbetrifft,
bequemer.
Die Annäherurig an den gesuchten Wert braucht nicht unbedingt
stets so zu erfolgen wie bei diesem Beispiel, nämlich von einer
Seite her (Kurvenzug I der Fig. 105); die Annäherung kann auch
oszillierend erfolgen. Hierbei schwanken die Näherungswerte um
den wahren Wert, wobei die Schwankungen mit fortschreitender
Näherung immer geringer werden, wie es der Kurvenweg II der
Fig. 105 zeigt.
Sehen wir jetzt, was das Iterationsverfahren, angewandt auf
die Gl. (37), ergibt! Wir legen uns wieder eine Tabelle an und
verfahren nach dem gleichen Schema wie oben.
Tabelle 13
7,00
6,65
6,11
3,50
3,33
3,06
33,12
27,9
21,3
44,2
37,3
28,4
6,65
6,11
5,33
Man erkennt deutlich, daß die ,,verbesserten" r-Werte von
Schritt zu Schritt immer schlechter werden und daß die Differenzen
aufeinanderfolgender r--Werte statt abzunehmen, immer größer
werden. Man sagt in einem solchen Falle, daß das Verfahren divergiert.
Ein divergentes Verfahren ist natürlich zur Auflösung einer
Gleichung nicht zu verwenden. Es gibt strenge mathematische
Kriterien, die eine Aussage darüber gestatten, wann das Iterationsverfahren
konvergiert und wann es divergiert. Statt diese Kriterien
anzuwenden, probiert man in der Praxis einfach aus, ob der
eingeschlagene Weg der richtige ist. Nach wenigen Näherungsschritten
erkennt man schon, ob das Verfahren konvergiert oder
ob es divergiert und daher verworfen werden muß.