220486_Einfuhrung_In_Die_Ho_Here_Mathematik.pdf

55. Ausgleichsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate 351
und sind bekannt, a und b dagegen sind zwei Unbekannte,
zu deren Berechnung nur eine Gleichung zur Verfügung
steht. Also läßt sich weder a noch b ausrechnen, und das bedeutet,
daß man die Bedingung nicht nur durch eine einzige,
sondern durch unendlich viele Geraden erfüllen kann. Damit ist
uns aber nicht gedient.
Das Ausgleichsverfahren
Theoretische Ableitung für die lineare Ausgleichung. Man kann
jedoch an das Ausgleichsverfahren eine andere Forderung stellen,
welche die zunächst gestellte implizit enthält, nämlich die,
daß dabei die Werte a und b so bestimmt werden, daß die Summe
der Fehlerquadrate —also die Summe von lauter positiven Zahlen —
zu einem Minimum wird, mathematisch ausgedrückt:
Minimum .
Wir wollen uns diese Summe zunächst bilden. Aus dem Gleichungssystem
(95) erhalten wir durch Quadrieren der einzelnen
Gleichungen eine Beihe neuer:
Durch Auflösen der Klammern folgt
Addieren wir alle Gleichungen, so erhalten wir unter Benutzung
der abgekürzten Summenschreibweise
(96)