220486_Einfuhrung_In_Die_Ho_Here_Mathematik.pdf

230 I. Teil. Funktionen einer Veränderlichen
Das bestimmte Integral läßt sich demnach (Fig. 120)
geometrisch in doppelter Weise deuten:
1. als Fläche unter der die Funktion darstellenden Kurve
zwischen den zu a und b gehörenden Ordinaten,
2.als Ordinatenzuwachsbei einer Stammkurve
bei beliebigem Wert der Integrationskonstanten.
Auswertung bestimmter Integrale
Nachdem nun das bestimmte Integral auf das unbestimmte
zurückgeführt worden ist, wird seine Ermittelung leicht.
Es sei die Aufgabe gestellt, den Flächeninhalt
der durch Schraffur gekennzeichneten
Figur unter der Parabel
zu ermitteln, die seitlich von
den Ordinaten bei und
begrenzt wird (Fig. 121). Es ist dieser
Flächeninhalt
Fig. 121. Flächeninhaltsbestimmung
unter der Parabel
Wir wissen, daß der Flächeninhalt F
zahlenmäßig dargestellt wird durch den
Ordinatenzuwachs einer Funktion,
deren erste Ableitung zwischen
den Abszissen
Wir finden zunächst diese Funktion durch Ausführung der Integration,
ohne daß die Grenzen besonders beachtet werden. Die
gesuchte Funktion lautet dann (wie man sich durch Rückwärtsdifferentiation
überzeugt)
und ihre Werte sollen die Flächeninhalte der Streifen unter der
Parabel angeben, die links bei beginnen und nach rechts
bis zur beliebigen Abszisse x reichen. Diese Festsetzung gestattet
es uns, die Integrationskonstante C zu bestimmen. Bei
wenn also die obere Grenze des Integrals mit seiner unteren zu-