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302 II. Teil. Funktionen zweier Veränderlichen v ist also hier eine Funktion von 6 Variablen und ändert sich eine von ihnen, so muß auch v gleichzeitig seinen Wert ändern. Daß wir eine solche Gleichung im allgemeinen nicht als eine Funktion von sechs Variablen auffassen, liegt darin begründet, daß bei einer fertigen Apparatur zur Messung der Zähigkeit (bei der wir ja die GL (77) nach auflösen a l s , eine ganze Anzahl von Größen, wie z. B. r, l und v, konstant gehalten wird. Man muß sich aber darüber im klaren sein, daß zwischen allen genannten Größen eine funktionale Abhängigkeit besteht; verkürzt man das Rohr oder ersetzt es durch ein anderes mit größerem Radius oder ändert man die Zähigkeit des strömenden Mediums etwa durch Variation der Temperatur, so wird sich auch sofort das hindurchgeströmte Volumen ändern. Wie können Funktionen mehrerer Veränderlichen dargestellt werden? Die Därstellungsmöglichkeiten sind auch hier wie bei den Funktionen einer Veränderlichen: analytisch, tabellarisch und geometrisch (graphisch). Beispiele der analytischen Darstellung haben wir soeben gesehen. Während die analytische Darstellung gleich gut bei beliebig vielen Veränderlichen anwendbar ist, ist die tabellarische für Funktionen von mehr als zwei Variablen unhandlich, und die geometrische Darstellung versagt praktisch sogar vollständig. Wir werden uns daher bei den beiden letzten Darstellungsarten auf Funktionen zweier unabhängigen Variablen beschränken. Tabelle 23 zeigt uns die tabellarische Darstellung der Funktion Es handelt sich dabei um die Abhängigkeit der Dichte trockener Luft von der Temperatur t und dem Drucke p. Man erkennt sofort, daß diese tabellarische Darstellung nicht, wie wir es bisher gewohnt waren, eindimensional, sondern zweidimensional ist. Es ist nicht nur eine-Reihe von Zahlen für die abhängige Variable vorhanden, sondern die Werte überdecken eine Ebene. Die beiden unabhängigen Veränderlichen. p und t begrenzen mit ihren ausgewählten Werten die Tabelle und es läßt sich zu jedem Wertepaar p und t ein bestimmter Wert finden.
48. Analytische und tabellarische Darstellung 303 Tabelle 23 700 710 720 730 740 750 760 770 780 0 1 2 3 4 0,00 1191 1187 1182 1178 1174 0,00 1208 1204 1199 1195 1191 0,00 1225 1221 1216 1212 1207 0,00 1242 1238 1233 1229 1224 0,00 1259 1255 1250 1245 1241 0,00 1276 1272 1267 1262 1258 0,00 1293 1288 12,84 1279 1274 0,00 1310 1305 1301 1296 1291 0,00 1327 1322 1318 1313 1308 5 6 7 8 9 1170 1165 1161 1157 1153 1186 1203 1182 1199 1178 1194 1174 1190 1169 | .1186 1220 1215 1211 1207 1202 1236 1232 1228 1223 1219 1253 1249 1244 1240 1235 1270 1265 1261 1256 1252 1287 1282 1277 1273 1268 1303 1299 1294 1289 1285 So z. B. entspricht einer Temperatur von 5° C und einem Druck von 740 Torr eine Luftdichte von Man kann bei einer solchen tabellarischen Darstellung natürlich nicht alle Werte in der Tabelle unterbringen, und so ist man in einem praktisch vorkommenden Falle oft gezwungen, in der Tabelle nicht enthaltene Zwischenwerte durch Interpolation zu ermitteln. Durch die Art der Darstellung in Tab. 23 wird als die abhängige Veränderliche gekennzeichnet. Das bedeutet aber nicht, daß nicht auch z. B. p als Funktion von und t aufgefaßt werden kann. Zu jedem Wertepaar läßt sich aus der Tabelle ein bestimmter Wert p nach einem Verfahren ermitteln, das wir an einem weiteren, den physikalischen Methoden der analytischen Chemie entnommenen Beispiel durchsprechen wollen. Es sei die Aufgabe gestellt, durch eine Dichtemessung die Konzentration c einer verdünnten Schwefelsäure zu ermitteln. Die Dichtemessung möge bei einer Temperatur den Wert ergeben haben. In den Physikalisch-Chemischen Tabellen von Landolt- Börnstein finden wir die tabellarische Darstellung (Tab. 24) der Funktion Der erste Blick zeigt uns schon, daß die
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Einführung in die höhere Mathemat
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GELEITWORT DES HERAUSGEBERS Für di
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Geleitwort des Herausgebers IX Das
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Vorwort des Verfassers XI werter al
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INHALT I.Teil. Funktionen einer Ver
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Inhalt 3. Kapitel. Graphische, nume
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4 I. Teil. Funktionen einer Veränd
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6 1. Teil. Funktionen einer Veränd
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8 I. Teil. Funktionen einer Veränd
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2. Darstellung von Funktionen 11 tr
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2. Darstellung von Funktionen 13 Un
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2. Darstellung von Funktionen 15 te
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2. Darstellung von F u n k t i o n
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2. Darstellung von Funktionen 19 De
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2. KAPITEL Die wichtigsten Funktion
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3. Die Konstante 23 Temperatur. Inf
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3. Die Konstante 25 lauft die Gerad
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4. Die Proportionalität 27 die Me
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6. Die lineare Funktion 29 Eine bes
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im b red , t-System darzustellen. W
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6. Die Parabeln y = x n 33 6. Die P
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7. Der Begriff des Differentialquot
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tion. 7. Der Begriff des Differerit
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8. Einige Differentiationsregeln 43
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8. Einige Differentiationsregeln 45
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Im angenommenen Beispiel ist 9. Das
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9. Das Differential 4y Es ist aber
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10. Umkehrfunktionen und Umkehrrege
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10. Umkehrfunktionen und Umkehrrege
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11. Die Funktionen vom Typus 55 II.
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11. Die Funktionen vom Typus 57 Wie
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11. Die Funktionen vom Typus 59 son
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11. Die Funktionen vom Typus 61 lum
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11. Die Funktionen vom Typus 63 bin
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12. Die Kettenregel 65 tiationsrege
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12. Die Kettenregel G7 Kurve III) d
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12. Die Kettenregel 69 Damit wird D
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13. Extremwert- und Wendepunktsbest
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13 Extremwert- und Wendepunktsbesti
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Die Funktion 13. Extremwert- und We
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und daher ist 13. Extremwert- und W
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Ist diese festgelegt, dann ist auch
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15. Darstellung und Differentiation
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.15. Darstellung und Differentiatio
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16. Logarithmische Papiere 99 logar
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16. Logarithmische Papiere 101 Auch
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16. Logarithmische Papiere 103 nate
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16. Logarithmische Papiere 105 Man
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16. Logarithmische Papiere 107 Beso
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17. Der logarithmische Rechenschieb
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X 0.00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,0
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19. Produkt- und Quotientenregel 12
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20. Die negative Exponentialfunktio
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21. Die Funktion y = e x 139 21. Di
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21. Die Funktion 141 Die ganze Kurv
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21. Die Funktion 143 Kubikzentimete
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21. Die Funktion 145 Tabelle 9 Temp
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22. Die Funktionen 147 besteht. Ent
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22. Die Funktionen 149 ist eine Kon
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22. Die Funktionen 151 Bei der allg
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22. Die Funktionen 153 Wie sieht nu
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22. Die Funktionen 155 Der Ausdruck
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23. Die Hyperbelfunktionen 157 sulf
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23. Die Hyperbelfunktionen 159 Ganz
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erhalten wir 24. Darstellung und Di
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25. Zyklometrische Funktionen als U
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3. KAPITEL Näherungsverfahren zur
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Näherungsverfahren zw Auflösung v
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26. Das Newtonsche Näherungsverfah
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26. Das Newtonsche Näherungsverfah
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27. Das Iterationsverfahren 175 So
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27. Das Iterationsverfahren 177 Tab
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4. KAPITEL Reihendarstellung von Fu
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28. Der Begriff der Potenzreihe 181
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28. Der Begriff der Potenzreihe 183
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29. Die MacLaurin-Reihe 185 So lass
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30. Die Taylor-Reihe 187 sogenannte
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32. Das Rechnen mit Reihen 189 dies
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32. Das Rechnen mit Reihen 191 Wir
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33. Die binomische Reihe und das Re
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5. KAPITEL Unbestimmte Ausdrücke 3
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34. Der Begriff des unbestimmten Au
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35. Auswertung unbestimmter Ausdrü
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1. KAPITEL Allgemeines über Differ
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36. Etwas über Differentialgleichu
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36. Etwas über Differentialgleichu
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37. Das unbestimmte Integral 217 su
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37. Bas unbestimmte Integral 219 Ma
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37. Das unbestimmte Integral 221 un
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38. Bestimmtes Integral und sein Zu
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2. KAPITEL Integrationsmethoden Beg
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39. Grundintegrale 241 Es sei zu in
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39. Grundintegrale 243 Zur Durchfü
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39. Grundintegrale 245 portional de
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39. Grundintegrale 247 Damit erhalt
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40. Die Substitutionsmethode 249 Al
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Seite 279 und 280: 42. Integration durch Partialbruchz
Seite 285 und 286: 43. Näherungsweise Auswertung von
Seite 291 und 292: 3. KAPITEL Graphische, numerische u
Seite 293 und 294: 44. Mechanische Methoden zur Auswer
Seite 295 und 296: 44. Mechanische Methoden zur Auswer
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Seite 305 und 306: 46. Ermittelung der Stammfunktion u
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Seite 309 und 310: 47. Ermittelung der Stammfunktion d
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Seite 325 und 326: 50. Darstellung durch eine Netztafe
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Seite 345 und 346: 2. KAPITEL Differentiation 62. Part
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Seite 357 und 358: 53. Höhere partielle Differentialq
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Seite 363 und 364: 55. Ausgleichsrechnung nach der Met
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55. Ausgleichsrechnung nach der Met
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3. KAPITEL Integration 56. Das voll
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56. Das vollständige und das unvol
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56. Das vollständige und das unvol
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57. Integration eines vollständige
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58. Integration eines unvollständi
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Anhang 381 Ermittle den Wert des be
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