220486_Einfuhrung_In_Die_Ho_Here_Mathematik.pdf

29. Die MacLaurin-Reihe 185
So lassen sich also die gesuchten Koeffizienten ausdrücken durch
den Funktionswert und die Ableitungswerte an der Stelle
Die gesuchte Reihe, die wir als MacLaurin-Reihe bezeichnen,
nimmt so die Form an:
Kennt man also den Funktionswert an der Stelle und vermag
da auch die Ableitungen zu bilden, so läßt sich eine Reihendarstellung
der Funktion angeben.
Wir wollen als erste Anwendung die Reihe für aufstellen.
Zu diesem Zweck müssen wir erst die Ableitungen von e x bilden
und dann deren Wert für berechnen. Nun ist dies sehr
einfach, denn aus
folgt
und daher
Da wir auch den Funktionswert an der Stelle kennen (den
einzigen, den wir überhaupt angeben können!), nämlich
folgt für die gesuchte Reihe
Nun sind wir in der Lage, die Funktion
Suchen wir z. B. den Funktionswert an der Stelle
wir diesen Wert in die Reihe ein und finden
tabellieren.
so setzen
Je nachdem, wie viele Summanden wir berücksichtigen, erhalten
wir den gesuchten Wert mehr oder minder genau. So ist z. B. e
berechnet mit fünf Gliedern der Reihe