220486_Einfuhrung_In_Die_Ho_Here_Mathematik.pdf

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96 I. Teil. Funktionen einer Veränderlichen Die Größen usw. schreiben wir voll aus (vgl. S. 194) und erhalten Geht man jetzt zur Grenze über, so verschwinden die durch n dividierten Glieder in den Klammern auf der rechten Seite und es ergibt sich, was durch strenge mathematische Rechnung gezeigt werden kann, Dieser Ausdruck hat trotz seiner unendlich vielen Glieder einen endlichen Wert, was sich am einfachsten dadurch zeigen läßt, daß man. die Reihe mit der aus der Elementarmathematik geläufigen unendlichen geometrischen Reihe vergleicht. Die Reihe, die uns den gesuchten Grenzwert liefert, formen wir etwas um und schreiben die oben angegebene geometrische Reihe zum Vergleich darunter
15. Darstellung und Differentiation der Logarithmusfunktion 97 Man erkennt, daß jedes Glied der geometrischen Reihe größer ist als das entsprechende (darüber stehende) Glied des zu untersuchenden Ausdruckes. Wenn nun die unendliche geometrische Reihe einen endlichen Wert besitzt, und der ist ja bekanntlich gleich 1 nach der in der Elementarmathematik bewiesenen Formel so muß die obere Reihe, bei der jedes einzelne Glied (vom dritten ab gerechnet) kleiner ist, erst recht einen endlichen Summenwert besitzen, der kleiner als 3 sein muß. Diesen Wert, der in der höheren Mathematik eine besonders wichtige Rolle spielt, bezeichnet man mit dem Buchstaben e. Es ist eine irrationale Zahl (deren Berechnung wir noch auf S. 185 kennenlernen werden) und besitzt auf 15 Dezimalen ausgerechnet den Wert Somit erhalten wir also für unseren gesuchten Differentialquotienten (21) (22) Man erkennt sofort, daß die erste Ableitung des Logarithmus nie den Wert Null haben kann; aber auch die zweite Ableitung verschwindet für keinen endlichen Wert von x. Also besitzt die Kurve y = lg x weder Extremwerte noch Wendepunkte. Der natürliche Logarithmus Aus Gl. (22) ersieht man, daß die Differentiation des Logarithmus ein besonders einfaches Resultat ergeben würde, wenn als Basis des Logarithmensystems die Zahl e genommen werden würde. Asmus, Einführung in die höhere Mathematik 7
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Einführung in die höhere Mathemat
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GELEITWORT DES HERAUSGEBERS Für di
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Geleitwort des Herausgebers IX Das
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Vorwort des Verfassers XI werter al
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INHALT I.Teil. Funktionen einer Ver
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Inhalt 3. Kapitel. Graphische, nume
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4 I. Teil. Funktionen einer Veränd
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6 1. Teil. Funktionen einer Veränd
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8 I. Teil. Funktionen einer Veränd
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2. Darstellung von Funktionen 11 tr
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2. Darstellung von Funktionen 13 Un
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2. Darstellung von Funktionen 15 te
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2. Darstellung von F u n k t i o n
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2. Darstellung von Funktionen 19 De
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2. KAPITEL Die wichtigsten Funktion
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3. Die Konstante 23 Temperatur. Inf
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3. Die Konstante 25 lauft die Gerad
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4. Die Proportionalität 27 die Me
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6. Die lineare Funktion 29 Eine bes
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im b red , t-System darzustellen. W
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6. Die Parabeln y = x n 33 6. Die P
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7. Der Begriff des Differentialquot
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tion. 7. Der Begriff des Differerit
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8. Einige Differentiationsregeln 43
Seite 59 und 60: 8. Einige Differentiationsregeln 45
Seite 61 und 62: Im angenommenen Beispiel ist 9. Das
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Seite 89 und 90: 13 Extremwert- und Wendepunktsbesti
Seite 91 und 92: Die Funktion 13. Extremwert- und We
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Seite 97 und 98: und daher ist 13. Extremwert- und W
Seite 105 und 106: Ist diese festgelegt, dann ist auch
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Seite 137 und 138: 19. Produkt- und Quotientenregel 12
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Seite 153 und 154: 21. Die Funktion y = e x 139 21. Di
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22. Die Funktionen 147 besteht. Ent
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22. Die Funktionen 149 ist eine Kon
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22. Die Funktionen 153 Wie sieht nu
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22. Die Funktionen 155 Der Ausdruck
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23. Die Hyperbelfunktionen 157 sulf
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23. Die Hyperbelfunktionen 159 Ganz
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erhalten wir 24. Darstellung und Di
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25. Zyklometrische Funktionen als U
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3. KAPITEL Näherungsverfahren zur
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Näherungsverfahren zw Auflösung v
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26. Das Newtonsche Näherungsverfah
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26. Das Newtonsche Näherungsverfah
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27. Das Iterationsverfahren 175 So
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27. Das Iterationsverfahren 177 Tab
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4. KAPITEL Reihendarstellung von Fu
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28. Der Begriff der Potenzreihe 181
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28. Der Begriff der Potenzreihe 183
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29. Die MacLaurin-Reihe 185 So lass
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30. Die Taylor-Reihe 187 sogenannte
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32. Das Rechnen mit Reihen 189 dies
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32. Das Rechnen mit Reihen 191 Wir
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33. Die binomische Reihe und das Re
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5. KAPITEL Unbestimmte Ausdrücke 3
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34. Der Begriff des unbestimmten Au
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35. Auswertung unbestimmter Ausdrü
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1. KAPITEL Allgemeines über Differ
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36. Etwas über Differentialgleichu
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36. Etwas über Differentialgleichu
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37. Das unbestimmte Integral 217 su
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37. Bas unbestimmte Integral 219 Ma
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37. Das unbestimmte Integral 221 un
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38. Bestimmtes Integral und sein Zu
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2. KAPITEL Integrationsmethoden Beg
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39. Grundintegrale 241 Es sei zu in
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39. Grundintegrale 243 Zur Durchfü
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39. Grundintegrale 245 portional de
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39. Grundintegrale 247 Damit erhalt
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40. Die Substitutionsmethode 249 Al
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also mathematisch ausgedrückt, ist
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4L Partielle Integration 257 Das zw
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41. Partielle Integration 259 Die B
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41. Partielle Integration 261 Die L
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42. Integration durch Partialbruchz
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43. Näherungsweise Auswertung von
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3. KAPITEL Graphische, numerische u
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44. Mechanische Methoden zur Auswer
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44. Mechanische Methoden zur Auswer
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45. Numerische Näherungsmethoden z
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46. Ermittelung der Stammfunktion u
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46. Ermittelung der Stammfunktion u
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47. Ermittelung der Stammfunktion d
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47. Ermittelung der Stammfunktion d
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1. KAPITEL Darstellung von Funktion
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48. Analytische und tabellarische D
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49. Geometrische Darstellung usw. 3
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50. Darstellung durch eine Netztafe
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51. Darstellung durch eine Fluchtli
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2. KAPITEL Differentiation 62. Part
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52. Partielle Differentiation und d
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52. Partielle Differentiation and d
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53. Höhere partielle Differentialq
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63. Höhere partielle Differentialq
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54. Ermittelung von Extremwerten 34
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55. Ausgleichsrechnung nach der Met
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3. KAPITEL Integration 56. Das voll
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56. Das vollständige und das unvol
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56. Das vollständige und das unvol
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57. Integration eines vollständige
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Anhang 381 Ermittle den Wert des be
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