220486_Einfuhrung_In_Die_Ho_Here_Mathematik.pdf

10. Umkehrfunktionen und Umkehrregel
Wir hatten aber noch nicht bewiesen, daß die benutzte Differentiationsregel
auch für gebrochene Exponenten gilt. Daher wollen
wir das erhaltene Resultat durch ein anderes Rechenverfahren
bestätigen und dabei eine neue Differentiationsregel, die sogenannte
U m k e h r r e g e l, kennenlernen.
Es sei in Fig. 37 wiederum die
Parabel y — x 2 gezeichnet. In einem
Punkte P mit den Koordinaten x und
y sei an die Parabel die Tangente gezogen,
die mit der positiven Richtung
der x-Achse den Winkel α, mit der
positiven Richtung der y-Achse den
Winkel ß bildet. Unter der Ableitung
von y nach x versteht man den tg α
und bezeichnet ihn als
Betrachtet
man nun x als die abhängige, y als
die unabhängige Veränderliche, so bedeutet
das eine Drehung des Koordinatensystems
in die ebenfalls in
Fig. 37 dargestellte Lage. Die Tangente
PA bildet mit der positiven
Richtung der y-Achse den Winkel ß
und man muß jetzt tg ß als bezeichnen
(beim Differentialquotienten
steht ja über dem Bruchstrich das
Fig. 37. Erläuterung zur
Umkehrregel
Differential der abhängigen Veränderlichen!). Nun liest man an
der Figur im Dreieck AOB ab, daß α und ß sich gegenseitig zu
90° ergänzen. Also ist
oder
Diese Regel, die in der Bruchschreibweife der Differentialquotienten
fast trivial aussieht, nennt man die Umkehrregel. Wir wollen
sie benutzen, um zu differenzieren.