220486_Einfuhrung_In_Die_Ho_Here_Mathematik.pdf

18. Darstellung und Differentiation der Exponentialfunktion 119
Ist y durch die Gl. (26) gegeben, wenn a irgendeine positive
Zahl größer als 1 bedeutet, so nennt man eine solche Funktion
allgemeine Exponentialfunktion.
Zeichnen wir uns diese Funktion für die Werte
usw., so erhalten wir eine in Fig. 80 dargestellte Kurvenschar.
Sämtliche Kurven sehneiden die Ordinatenachse im Abstände
1 von der x-Achse, denn für jedes a ist Die Steigung
dieser Kurven nimmt
mit wachsendem x-Wert zu, und
es ist bemerkenswert, daß es
unter dieser Kurvenschar eine
Kurve gibt, deren Steigung in
jedem Punkte zahlenmäßig
gleich dem jeweiligen Ordinatenwert
ist, bei der also die
Gleichung gilt:
Diese Kurve ist diejenige,
der a gerade den Wert
bei
besitzt. Wir wollen das im
folgenden beweisen und damit
gleichzeitig das Differenzieren
der Exponentialfunktion
Logarithmiert man die Gleichung
Fig. 80. Graphische Darstellung der
Funktion y= a x
lernen.
zur Basis e, so folgt
Denken wir uns jetzt x als abhängige und als unabhängige
Variable, schreiben also und bilden so erhalten wir